راهبردهای حل مسئله
راهبردهای حل مسالهتوضیح اولیهحل
مساله ، مهارتی مهم در درس ریاضی است . در اینجا با طرح چند مسئله برای
دانش آموزان راهنمایی به توسعه مهارت حل مسئله آنان كمك می گردد. اهدافدانش آموزان قادر خواهند شد : مجموعه ای از راهبردهای مناسب را در حل مسائل انتخاب كرده و بكار گیرند. فرآیند حل مساله ریاضی را بازبینی و كنترل نمایند و در آن بیندیشند. با دیگران بصورت منطقی و واضح در باره ی مسیر فکریشان گفتگو کنند. روش تدریس
مسئله انبه در شكل شماره 1 مطرح شده است. قبل از مطالعه بقیه این طرح درس ، ابتدا مسئله را خوانده و به حل آن اقدام كنید. به چگونگی مراحل حل مسئله خود توجه نمایید. اگر گیج شده و موفق به حل نشدید ، در جستجوی راهبرد دیگری برای حل آن درآیید.
یك شب كه پادشاهی از گرسنگی ، نتوانست بخوابد به آشپزخانه سلطنتی رفت و در آنجا ظرفی پر از انبه یافت. چون گرسنه بود انبه ها را خورد و به اتاقش بازگشت. كمی بعد در همان شب ، ملكه نیز از شدت گرسنگی نتوانست بخواند . بنابراین او نیز در آشپزخانه ، انبه ها را یافت و انبه های باقیمانده را خورد. كمی بعد بزرگترین شاهزاده بیدار شد و باقیمانده انبه ها را خورد.پس از او برادرش شاهزاده وسطی ، انبه های باقیمانده را خورد.سرانجام كوچكترین برادر انبه های باقیمانده را خورد . بدین ترتیب فقط 3 انبه برای خدمتكاران باقی ماند. در ابتدا چند انبه توی ظرف بود؟
مسئله انبه ، مورد علاقه معلمانی است كه مایلند توانایی های حل مسئله را در دانش آموزانشان توسعه دهند. زیرا دانش آموزان راهنمایی می توانند این مسئله را حداقل از 4 راهبرد متفاوت حل نمایند.( راهبردهای حدس و آزمایش ، رسم شكل ، زیر مساله ، و تشكیل معادله ) این مسئله ، مثالی عالی برای نمایش قدرت و غنای ریاضی هنگام بكارگیری راهبردهای چندگانه در حل مسئله می باشد.
از این مسئله همچنین می توان برای اهداف آموزشی متنوع مانند ارزشیابی استفاده كرد در مواقعی كه هدف ما از ارزشیابی ، توانایی دانش آموز در كاربرد راهبردهای متنوع باشد. همچنین با هدف استفاده از انواع راهبردها تا حد امكان ، از این مسئله می توان به عنوان تكلیف در كارگروهی مشاركتی بهره برد.
در مطالب زیر ، به هر یك از 4راهبرد مسئله انبه بصورت خلاصه می پردازیم همچنین تجربیات حاصل از اجرای عملی این راهبردها در كلاسها بیان می گردد ، دو تعمیم جالب برای مسئله پیشنهاد شده و مثالی از یك مسئله مشابه ( ملوان ها و نارگیل ها) در ادامه ی توسعه طرح درس برای بررسی بیشتر چهار راهبرد مذكور ، داده خواهد شد.
راهبرد حدس و آزمایش
در این راهبرد دانش آموزان ابتدا تعداد اولیه انبه های داخل ظرف قبل از ورود پادشاه به آشپزخانه را حدس می زنند سپس آنها برای بررسی حدس خود ، آن را با اطلاعات داده شده در مسئله می سنجند. اگر حدسشان درست نباشد ، بار دوم حدس بهتری را ( با استدلال منطقی ) مشخص می كنند. این فرآیند همچنان ادامه می یابد تا به پاسخ درست مسئله برسند . احتمالا برخی از دانش آموزان حدس هایی می زنند كه غیرمعقول و نامربوط است .
در این موارد معلمان باید چگونگی آغاز یك حدس معقول را بدان ها خاطر نشان كنند و با آنها راجع به تشكیل جدولی برای ثبت و سازمان دهی اطلاعات مربوط به حدس های خویش ، صحبت نمایند.بدین ترتیب دانش آموزان براحتی از این راهبرد استفاده خواهند نمود.
تجربه عملی :
یكی از گروهها بسرعت فهمیدند كه حدس اولیه آنها باید بر 6 قابل قسمت باشد تا پادشاه بتواند آن را بخورد و عدد 24 را به عنوان حدس اولیه بیان كردند اما در پایان مسئله 4 انبه به جای 3 انبه باقی ماند . بنابراین گروه فهمید كه تعداد اولیه 24 انبه زیاد بوده و حدس خود را به عدد 18 اصلاح كرد . گروه با آزمایش عدد 18 فهمید كه پاسخ صحیح مسئله است.
در گروه دیگری كه آنها هم فهمیدند حدس اولیه باید بر 6 قابل قسمت باشد ، عدد 12 را پیشنهاد كردند. باآزمایش این عدد ، در پایان فقط 2 انبه باقی ماند. سپس انها به عدد بعدی قابل قسمت بر 6 یعنی 18 رسیدند.
برخی از گروهها درنیافتند كه پاسخ باید بر 6 بخش پذیر باشد. آنها با حدس اعداد 16 و 14 نتوانستند بصورت دستی تقسیمات مسئله را انجام دهند و از ماشین حساب كمك گرفتند.
حدس اولیه یكی از گروهها 1000 بود كه به 100 ، 30 ، 20 ، 19 و 18 اصلاح شد. آنها برای حدس اولیه خود از هیچ منطقی استفاده نكردند جز اینكه پس از آزمایش این حدس ، تعداد انبه های باقی مانده را بسیار زیاد یافتند.
راهبرد رسم شكل :
سهولت حل این مسئله با این راهبرد شگفت انگیز است. بدین منظور ابتدا مستطیلی رسم كنید كه نشان دهنده تعداد اولیه انبه ها باشد . چون پادشاه انبه ها را خورده است ، مستطیل را به 6 قسمت تقسیم كرده و 1 قسمت آن را حذف كنید.
در اینصورت 5 قسمت مساوی باقی می ماند كه ملكه 1 قسمت آن را خورده است. بنابراین 1 قسمت از 5 قسمت را هم حذف می كنیم.
به همین ترتیب شكل باقی مانده را برای شاهزاده بزرگ
و شكل باقی مانده را برای شاهزاده وسطی
و شكل باقی مانده را برای شاهزاده كوچكتر حذف می كنیم .
بدین ترتیب فقط 1 قسمت از مستطیل باقی می ماند كه معادل 3 انبه می باشد .
اگر هر قسمت از مستطیل معادل 3 انبه باشد پس كل مستطیل یعنی تعداد اولیه انبه ها 18 خواهد شد. 18= 3×6
با این راهبرد بصورت تصویری و ملموس ، می توان مراحل حل مسئله را بخوبی نشان داد.
تجربه عملی :بیشتر دانش آموزانی كه از این راهبرد استفاده كردند ، دانش آموزان سالهای اول راهنمایی بودند . یكی از گروهها ابتدا 6 دایره مساوی رسم كرد و روی یكی از آنها نام پادشاه را نوشت سپس روی یكی از 5 دایره باقی مانده نام ملكه و بهمین ترتیب روی آخرین دایره ، تعداد انبه های باقیمانده یعنی عدد 3 را نوشت و با جمع زیر به پاسخ مسئله دست یافت . 18=3+3+3+3+3+3گروه دیگری ، دایره ای رابه 6 قسمت مساوی تقسیم كرد و هر قسمت را به یكی از افراد خانواده سلطنتی نسبت داد و با محاسبه زیر به جواب مسئله رسید. 18= ( 3× 5 ) + 3
گروه دیگری نیز گرچه با روش مشابه حل كرد اما در پایان نتوانست با نسبت دادن عدد 3 به یك قسمت از دایره به پاسخ مسئله برسد و فقط عدد 3 را با تعداد قسمت های دایره یعنی 6 جمع كرد.
راهبرد زیر مساله :
استفاده از این راهبرد برای حل این مساله نه تنها برای دانش آموزان راهنمایی بلكه برای بزرگسالان هم آسان نیست. استفاده از این راهبرد مستلزم حل مساله از آخر به اول است. در این راهبرد ابتدا باید مساله را به چند مساله ی کوچک تقسیم کرد و مرحله به مرحله به حل آن پرداخت.
الف- ابتدا از انتهای مسئله شروع می كنیم( یعنی 3 انبه باقی مانده)
ب- بصورت برعكس مراحل مسئله را انجام می دهیم.
ج- با دقت مقدار هر مرحله را محاسبه می كنیم تا از انتها به ابتدای مسئله برسیم. برای مسئله انبه ها چنین انجام می دهیم : در انتهای مسئله 3 انبه باقی مانده بود كه نشان دهنده انبه هایی بود كه شاهزاده كوچك با آن مواجه شد. در اینصورت شاهزاده كوچك باید قبل از خوردن انبه ، 6 انبه دیده باشد. تا این جا فهمیدیم وقتی شاهزاده وسطی انبه ها را خورد 6 انبه باقی ماند. بنابراین 6 انبه معادل تعداد انبه ها بوده 9= × 6 پس قبل از اینكه شاهزاده وسطی انبه ای بخورد 9 انبه در ظرف بود. بهمین ترتیب 9 انبه ، نشانگر انبه هایی است كه شاهزاده بزرگتر با آن مواجه شد. پس 12=×9
قبل از اینكه شاهزاده بزرگتر انبه ای بخورد 12 انبه در ظرف بود. بطور مشابه می توان محاسبه كرد: 15= ×12 یعنی قبل از خوردن ملكه 15 انبه در ظرف بود.و
18= ×15 در ابتدا 18 انبه در ظرف موجود بوده است.
تجربه عملی :
بعضی از دانش آموزان در انجام قسمت های 2 به بعد مشكل داشتند. برخی برای یافتن پاسخ هر مرحله ، از راهبرد حدس و آزمایش استفاده می كردند.
برخی این راهبرد را با راهبرد “ یافتن یك الگو“ ادغام كردند و وقتی در مراحل معكوس ، اعداد 3و 6 و9 را یافتند با الگوی ( هر دفعه 3 تا اضافه می شود ) به پاسخ 18 رسیدند.
برخی از دانش آموزان سه راهبرد “ زیر مساله “ “ رسم شكل “ و “ الگویابی “ را با هم تركیب كردند. آنها ضمن رسم شكل ، الگوی افزایش سه تایی به اعداد را هم استفاده كردند. دانش آموزی كه سریعتر از بقیه از این راهبرد به پاسخ صحیح رسید چنین استدلال می كرد:
6 نشان دهنده یك چیز است . پس آن چیز باید 3 باشد پس اگر 6 ( آن چیز ) را با 3 ( آن چیز ) جمع كنیم ، یعنی آن چیز را بدست آورده ایم.و بدین ترتیب به عدد 9 رسید.
برای بدست آوردن عدد 12 از 9 چنین استدلال كرد: عدد 9 سه چهارم یك چیز است. اگر آن را به 3 تقسیم كنیم، آن چیز بدست می آید، حال اگر 3 را با 9 جمع كنیم آن چیز بدست می آید. راهبرد تشكیل معادله :
برای دانش آموزان راهنمایی ، تشكیل معادله ای به منظور حل مسئله فوق ، بسیار دشوار است . برای تشكیل معادله ابتدا متغیر x را به تعداد اولیه انبه ها اختصاص می دهیم. چون پادشاه انبه ها را خورده پس مقدار باقیمانده آن برابر می گردد. ملكه انبه های باقیمانده را خورد. پس از خوردن ملكه این مقدار باقی ماند : شاهزاده بزرگتر انبه های باقیمانده را خورد یعنی مقدار باقیمانده برابر می گردد. شاهزاده وسطی انبه های باقیمانده را خورد بنابراین باقی می ماند. سرانجام شاهزاده كوچكتر مقدار باقیمانده را خورد یعنی چون مقدار باقیمانده x مساوی 3 می باشد پس 3= x و 18= x
برای تمرین راهبردهای مطرح شده، می توان از مسئله زیر معروف به “ ملوانها و نارگیل ها “ نیز استفاده نمود. سه ملوان به جزیره بی آب و علفی رسیدند كه محل زندگی دسته ای از میمون ها بود. ملوان ها تمام روز به جمع آوری نارگیل پرداختند و شب هنگام آنقدر خسته بودند كه نارگیل ها را نشمردند. آنها توافق كردند كه صبح روز بعد نارگیل ها را بین خودشان به تساوی قسمت كنند . در نیمه های شب یكی از ملوان ها بیدار شد و تصمیم گرفت سهم خود را بردارد. او فهمید كه وقتی نارگیل ها را به سه قسمت مساوی تقسیم كند یكی از نارگیل ها اضافه می آید بهمین خاطر آن را برای میمون ها انداخت و سهم خود را برداشت و رفت. كمی بعد دومین ملوان بیدار شد و مانند ملوان قبلی خواست تا سهم خود را بردارد . او نیز وقتی نارگیل های باقیمانده را به سه قسمت كرد 1 نارگیل اضافه آمد كه آن را برای میمون ها انداخت. سپس سهم خود را برداشت و رفت.بهمین ترتیب سومین ملوان هم بیدار شد و دقیقا همان كارها را انجام داد یعنی نارگیل های باقیمانده را برداشت و 1 نارگیل را برای میمون ها انداخت. صبح روز بعد ، ملوان ها متوجه شدند كه كپه نارگیل ها خیلی كوچك شده ولی هر یك تصور می كرد كه فقط او از نارگیل ها برداشته و بدین خاطر هیچكس حرفی نزد. آنها نارگیل های باقی مانده را به سه قسمت مساوی كردند و به هر یك 7 نارگیل رسید و 1 نارگیل هم اضافه آمد كه ان را برای میمون ها انداختند. حال شما بگویید كه در ابتدا ملوان ها چند نارگیل جمع آوری كردند؟
پاسخ این مسئله 79 نارگیل است. برای حل، ابتدا از راهبرد بزیر مساله به همان ترتیب از آخر به اول استفاده كنید اما همزمان راهبرد رسم شكل را نیز بكار برید.
این مسئله را می توان به شكل دیگری نیز مطرح كرد یعنی بجای اینكه بگوییم “ در پایان ، تعداد نارگیل های باقیمانده را كه قسمت كردند به هر ملوان 7 نارگیل رسید و 1 نارگیل برای میمون ها باقی ماند“ بگوییم “ در پایان تعداد نارگیل های باقیمانده ، بطور مساوی بین سه ملوان قسمت شد و 1 نارگیل برای میمون ها باقی ماند“.
این كار باعث می شود تا دانش آموزان از راهبرد حدس و آزمایش هم استفاده كنند و برای تعداد نارگیل های هر ملوان حدس های مختلفی بزنند. البته آنها بسرعت می توانند حدس های غیر منطقی را حذف نمایند زیرا عدد پیشنهادی باید بر 3 قابل قسمت باشد تا بتواند بین 3 ملوان تقسیم گردد. توسعهبرای اینكه دانش آموزان را به تعمیم و تشخیص الگوهای ریاضی وادار كنیم ، می توان مسئله انبه ها را به دو روش زیر بسط داد. فرض كنید تعداد افراد مطرح شده در مسئله انبه ها 10 نفر باشند یعنی نفر اول انبه ها را می خورد ، نفر دوم باقیمانده ، نفر سوم باقیمانده و بهمین ترتیب تا اینكه فقط 3 انبه باقی بماند . تعداد اولیه انبه ها چندتا بوده است؟ تعدادی مسئله مشابه انبه بسازید كه در آنها تعداد افراد ابتدا 10 نفر بعد 9 نفر و بعد 7 نفر باشد. تعداد اولیه انبه ها را در هریك محاسبه كنید . سپس به یك قاعده كلی برسید كه با دانستن تعداد انبه های باقیمانده و تعداد افراد ، بتوانید تعداد اولیه انبه ها را بگویید .اموزش حل مسئله
مقدمه:
حل مسئله از دو جنبه اهمیت دارد. اول آن که از اهداف مهارتی مهم در آموزش ریاضیات است و از طرف دیگر می توان گفت انجام هر فعالیت با پاسخ دادن به سؤال ها و یا تمرین های ریاضی (که ممکن است به منظور تقویت مهارتی طرح شده باشد.) به نوعی حل مسئله است. با این تعریف حل مسئله چتری است که بر روی تمام اهداف مهارتی و به تعبیری دیگر بر تمام آموزش ریاضی قرار می گیرد.
در استانداردهای آموزش ریاضی این گونه بیان شده است، حل مسئله قلب تپیده یا نقطه ی تمرکز آموزش ریاضی است.
مسئله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هرگاه فردی بخواهد کار دیگری انجام دهد یا جای دیگری باشد، ولی نتواند به هدف خود برسد، مسئله ایجاد می شود. حل مسئله، نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسئله و تلاش برای حل آن جزیی از زندگی هر فرد است. تعلیم و تربیت باید دانش آموزان را برای برخورد با زندگی آینده آماده کند. فرآیند برخورد با شرایط زندگی را حل مسئله می نامند.
در آموزش ریاضی دو دیدگاه و یا رویکرد کلی در مورد حل مسئله وجود دارد.
1- ریاضی را آموزش می دهیم تا به کمک آن دانش آموزان مسئله حل کنند.
2- آموزش ریاضی را از طریق حل مسئله انجام دهیم.
در نگاه اول حل مسئله در پایان فرآیند آموزش قرار می گیرد.
کتاب های ریاضی دوره ی ابتدایی و راهنمایی فعلی نیز با همین دیدگاه برنامه ریزی شده است . لذا ابتدا مفاهم آموزش داده می شوند سپس تکنیک ها و قواعد بین بیان شده پس از کسب مهارت در انجام تکنیک ها، تعدادی مسئله مطرح می شوند تا دانش آموزان باتوجه به دانش ریاضی خود به آن پاسخ دهند.
در رویکرد دوم حل مسئله در آغاز فرآیند آموزش است. در واقع با طرح یک مسئله و به چالش انداختن ذهن دانش آموزان شرایط برای آموزش مهیا شده، و دانش آموز با درگیر شدن در فرآیند حل مسئله به تدریج مفهوم و یا دانش مورد نظررا مرحله به مرحله تولید می کند و ضمن حلّ مسئله یک موضوع تازه از ریاضیات را نیز فرا می گیرد.
آموزش ریاضی از طریق حل مسئله :
در تدریس ریاضی از طریق حل مسئله دنیای واقعی نقطه ی شروع است؛ یعنی مسئله از دنیای واقعی انتخاب می شود و سپس به زبان ریاضی ترجمه می شود. این ترجمه در واقع، نوعی مدل سازی ریاضی است. گاهی برای فهم و درک بهتر یا ترجمه ی دقیق تر، ممکن است چندین رفت و برگشت بین دنیای واقعی و دنیای ریاضی انجام شود تا بالاخره در دنیای ریاضی مسئله حل ریاضی شود اما این، نقطه ی پایان کار نیست؛ بلکه باید حل مسئله در دنیای واقعی تفسیر و ترجمه شود. مدل زیر این موضوع را بهتر نمایش می دهد.
تعامل بین دو دنیا با پویایی ادامه پیدا می کند و هر بار مسئله ی جدید باعث اعتلای ریاضی و اضافه شدن بخش های جدیدی به آن می شود. از طرفی دیگر، گسترش و توسعه ی ریاضی نیز ره گشای حل مسئله های پیچیده تر از دنیای واقعی می شود. در مثال زیر کوشش شده است یک مسئله در قالب این مدل توضیح داده شود تا مفهوم مورد نظر بهتر شکل بگیرد.
قرار است یک مجتمع خدماتی ، شامل مدرسه، درمانگاه و شرکت تعاونی روستایی برای استفاده سه دهکده ی مشخص شده در نقشه ساخته شود، به طوری که فاصله بین این مجتمع از سه دهکده به یک اندازه باشد، محل ساختمان مجتمع را مشخص کنید.
این مسئله از دنیای واقعی انتخاب شده است. در مورد موضوع آن یعنی خدمات رسانی متمرکز به روستاهای مجاور هم و سیاست دولت در این خصوص می توان برای دانش آموزان توضیح داد وقتی به جای سه دهکده سه نقطه فرض می کنید و با وصل کردن آن ها به هم یک مثلث می سازیم در واقع مدل سازی ریاضی انجام داده ایم. به این ترتیب مسئله را به دنیای ریاضی برده ایم.
در دنیای ریاضی با رسم سه عمود منصف و پیدا کردن محل برخورد آن ها در واقع مسئله را حل ریاضی کرده ایم. مرحله ی آخر این است پاسخ به دست آمده را در دنیای واقعی تفسیر کنیم. با بررسی سؤال هایی مثل: آیا در چنین نقطه ای امکان ایجاد مجتمع وجود دارد؟ آیا در این نقطه مانعی طبیعی قرار دارد؟ آیا در روی زمین یک نقطه پیدا کرده ایم یا محدوده ای که بتوان در آن حوالی مجتمع را ساخت؟
مسئله ی بالا در کتاب اول راهنمایی به عنوان یک تمرین، مطرح شده و در آغاز آموزش حل مسئله نیست؛ ولی مدل مذکور را تا حد زیادی روشن و آشکار می کند.
یکی از پیام های بسیار مهم در این مدل، مرحله ی آخر یا تفسیر جواب ریاضی در دنیای واقعی است که اغلب در کلاس های ریاضی به آن توجه نمی شود و مسئله با پیدا کردن جواب ریاضی خاتمه می یابد.
آموزش مهارت حل مسئله:
تا چندی پیش اغلب آموزشگران ریاضی و ریاضیدانان بر این باور بودند که حل کردن مسئله یک توان، استعداد و نیرویی فردی است و آموزش دادن آن معنا ندارد. به عبارت دیگر، توانایی حل مسئله به صورت یک استعداد در درون افراد قرار دارد و نمی توان آن را از طریق آموزش تقویت و یا ایجاد کرد.
جرج پولیا با این تفکر که چه تفاوتی بین افراد مسئله حل کن و افراد دیگر وجود دارد که آن ها را قادر به حل مسئله می کند و دیگران را عاجز، به بررسی فرآیند تفکر حل مسئله در دانشجویان خود پرداخت و با نوشتن کتاب «چگونه مسئله را حل کنیم؟» ذهنیت آموزش حل مسئله را مطرح کرد.
امروزه با توجه به نظریات او و آموزشگرانی که پس از وی تحقیقات در مورد حل مسئله را ادامه دادند بر این باور هستیم که می توانیم از طرقی مهارت حل مسئله را بر دانش آموزان آموزش دهیم.
اغلب دانش آموزان ما در مواجه شدن با مسئله توان اقدام کردن به حل آن را ندارند. در واقع نمی دانند چطور باید حل را آغاز کنند و یا وارد حل مسئله شوند. این مشکل برای معلمان ریاضی کاملاً قابل درک است . اغلب آن ها از این که دانش آموزان درباره ی مسئله نمی توانند فکر کنند، ناراحت به نظر می رسند.
بعضی از معلمان نیز سعی کرده اند به روش های جدید تجربی خود، به نوعی حل کردن مسئله را به دانش آموز آموزش دهند. اغلب آن ها در این شیوه، راه را اشتباه رفته اند و به دانش آموزان آموزش های نادرست داده اند. برای مثال، نصف ها و واژه های به کار رفته در متن مسئله را مهم جلوه داده اند. «اگر کلمه ی روی هم را دیدید باید جمع کنید.» و یا «کلمه ی تفاوت به تفریق مربوط می شود.» بیان این قبیل جملات نه تنها آموزش نیست؛ بلکه به نوعی ضد آموزش است و قدرت تفکر را در ذهن دانش آموز از بین می برد. در این جا سعی شده است با تبیین مدل پولیا راهی را برای آموزش مهارت حل مسئله پیدا کنیم.
الگوی پولیا برای حل مسئله:
هرکس در ذهن خود فرآیندی برای حل مسئله طی می کند. مسیر حل مسئله برای مسایل گوناگون و برای افراد مختلف متفاوت است اما جرج پولیا تلاش کرده است تا این مسیر را به نوعی مدل سازی کند. الگوی چهار مرحله ای او به شکل زیر است.
1- فهمیدن مسئله: گام اول در حل یک مسئله، فهمیدن آن است. این گام نشان می دهد وقتی مسئله است که چیزی برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله، یعنی تشخیص داده ها و خواسته های مسئله و ارتباط بین آن ها. فهم مسئله های مبارز طلب در واقع بخش اصلی فرآیند حل مسئله است. مسئله های پیچیده حل نمی شوند، چون اغلب در فهم آن مشکل داریم.
برای طی کردن این گام در هنگام حل مسئله می توان به سؤال هایی مثل مسئله چه چیزی (چه اطلاعاتی) داده است؟ چه چیزی را می خواهد؟ خواسته مسئله چیست؟ آیا مسئله باید در شرایط خاصی بررسی شود؟ آیا مسئله دارای محدودیت ها و شرایط معینی است؟ و یا می توان از دانش آموزان خواست که مسئله را به زبان خود بیان کنند و توضیح دهند. یا مسئله را خلاصه کنند و یا به صورت یک نمایش آن را به عمل در آورند. یا برای فهم بهتر از یک شکل استفاده کنند.
یکی از راه های مناسب برای طرح مسئله قرار دادن اطلاعات اضافی در متن سؤال است تا گام فهمیدن و تشخیص داده ها و خواسته ها اهمیت بیش تری پیدا کند.
2- طرح ریزی کردن: گام دوم برنامه ریزی، طرح ریزی یا قصد کردن برای حل مسئله است. در این مرحله، مسئله را از ابعاد مختلف ریاضی بررسی می کنیم. یعنی این مسئله با کدام یک از مقولات هندسی، جبری، برداری و .... در ارتباط است. چگونه آن را می توان مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد (استراتژی) برای حل آن مناسب تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این رفت و برگشت تا رسیدن به یک راه حل مناسب ادامه می یابد.
در آموزش عمومی آنچه در این گام مطرح می شود، انتخاب راهبرد (استراتژی) یا روش حل مناسب برای حل مسئله است؛ یعنی در این مرحله دانش آموز داده های مختلف، حل مسئله را بررسی و امتحان می کند. راه هایی مثل کشیدن شکل، حدس زدن جواب، حذف کردن جواب های غیر ممکن برای رسیدن به جواب اصلی، فرد یا تکه تکه کردن مسئله، ساده تر کردن مسئله، تشکیل دادن معادله و .... بنابراین نام این مرحله را «انتخاب راهبرد» می گذاریم.
مهم ترین بخش در آموزش مهارت حل مسئله، آموزش راهبردها است. در واقع آنچه از حل مسئله، آموزش دادنی است. آموزش راهبردهاست. که در این مورد در قسمت بعد توضیحاتی ارائه خواهد شد.
3- حل مسئله: در گام سوم، نقشه ی طرح شده را به اجرا می گذاریم. اگر راهبرد مناسب را انتخاب کرده باشیم و در فهم مسئله مشکلی نداشته باشیم، نقشه با موفقیت اجرا شده، مسئله حل می شود. در غیر این صورت، ممکن است به گام دوم برگردیم و طرح و نقشه یا راهبرد خود را تغییر دهیم. همچنین این امکان وجود دارد که در هنگام حل مسئله ، متوجه شویم هنوز بخش هایی از مسئله را نفهمیده ایم و یا در تشخیص داده ها یا خواسته ی مسئله اشتباه کرده ایم و باید به گام اول برگردیم.
یکی از نکات مهمی که باید به دانش آموزان گوشزد کنیم، این است که این قسمت بخشی از فرآیند حل مسئله است نه تمام آن، در واقع تمام تلاش هایی که برای فهمیدن مسئله و انتخاب راهبرد می شود نیز جزیی از حل مسئله است.
4- نگاه به عقب (برگشت به عقب): درگام آخر در صورتی که مسئله حل شده باشد، آن را در دنیای واقعی، تفسیر و ترجمه می کنیم. همچنین در مورد منطقی بودن پاسخ و اینکه جواب به دست آمده همان خواسته ی مسئله است یا نه، بررسی می کنیم. راه حل و روش های ریاضی که در حل مسئله استفاده شده است، مجدداً بررسی و امتحان می شوند.
همان طور که ذکر شد معمولاً این گام در کلاس درس فراموش می شود؛ و دانش آموزان اغلب درباره ی منطقی بودن پاسخ خود، فکر نمی کنند. و پاسخ خود را در دنیای واقعی تفسیر و تعبیر نمی کنند.
با طی کردن 4 گام فوق یک مسئله به طور کامل حل می شود. این مراحل در هنگام حل مسئله به صورت طبیعی و پنهان طی می شود. تأکید بیش از حد 4 گام و جدا کردن آن ها از یک دیگر ممکن است به عاملی برای متوقف شدن فرآیند حل مسئله منجر شود لذا توصیه می شود معلمان محترم این 4 مرحله را به صورت طبیعی در کلاس با دانش آموزان خود طی کنند و با تکرار آن در حل هر مسئله آن را به صورت ملکه در ذهن دانش آموز درآورند تا او بتواند فرآیند تفکر خود را نظم و سازماندهی کند.
راهبردهای حل مسئله:
یکی از مشکلات اصلی دانش آموزان، عدم اقدام به حل مسئله است؛ یعنی وقتی با یک مسئله مواجه می شوند، نمی دانند از کجا باید شروع کنند و یا چگونه اقدام به حل آن نمایند. مدل پولیا از یک طرف می تواند الگویی برای شروع به دانش آموز بدهد اما از طرف دیگر ممکن است خود مانع حل، خلاقیت و آزاد اندیشی دانش آموز شود اما آموزش راهبردهای حل مسئله می تواند گام مفیدی برای حل مسئله باشد. دانش آموز در گام دوم حل مسئله می تواند از بین راهبردهای مختلف که برای حل مسایل آموزشی دیده است، راه حل مسئله ای که با آن مواجه شده است را انتخاب کند.
بررسی راهبردهای مختلف وامکان حل مسئله با آن راهبردها در واقع اقدام مهمی برای حل مسئله است. در آموزش عمومی 8 راهبرد زیر به دانش آموزان داده می شود.
1- رسم شکل: ضرب المثل هایی چون «شنیدن کی بود مانند دیدن» و «یک تصویر ، با ارزش تر از هزار کلمه» از دیرباز رواج داشته است. احتمالاً بسیاری از مردم با این گونه نظریات موافق اند اما قدرت و کارایی بعضی از ضرب المثل ها برای همه ی آنان آشکار نیست، یک تصویر یا شکل، در گفت و گوها و ارتباط های کلامی نقش مؤثری دارد و می تواند ارتباط بین مکان ها و موقعیت های دور از هم را به سادگی و روشنی نشان دهد. نقاشان، طراحان و تصویرگران طنز پرداز افکار خود را با تصاویر، طرح ها و نقاشی ها قابل مشاهده می کنند. در ریاضیات چه طور؟ آیا شکل ها و تصویرهای کلی می توانند به حل مسئله ها کمک کنند.
این راهبرد به طور طبیعی در ذهن دانش آموز پیش می آید و کشیدن شکل برای یک مسئله، اولین ایده ای است که به ذهن می آید. بسیاری از مسایل، با کشیدن یک شکل به راحتی حل می شوند و حتی نیازی به نوشتن عملیات نخواهند داشت. اغلب معلمان با قبول نکردن این راه حل (کشیدن شکل) از دانش آموزان باعث می شوند این راهبرد با کاربرد وسیع کم کم از ذهن دانش آموز پاک شود.
دانش آموزان و اغلب معلمان فکر می کنند حل یک مسئله، یعنی نوشتن عملیات ریاضی، بنابراین اگر دانش آموزی یک مسئله را فقط با کشیدن یک شکل حل کند و به پاسخ و خواسته ی مسئله برسد باز هم تردید دارد و سعی می کند با نوشتن عملیات ریاضی پاسخ خود را قابل قبول کند.
به مسئله ی زیر و نحوه ی حل آن را با رسم شکل توجه کنید.
«در یک مزرعه 20 مرغ و گاو وجود دارد. تعداد پاهای آن ها 54 عدد است. با فرض این که همه ی آن ها سالم هستند چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارد؟»
پاسخ: 7 گاو 13 مرغ
این راهبرد مسئله ی بالا برای دانش آموز دوم دبستان نیز قابل طرح است.
2- سازمان دهی داده ها و جدول نظام دار: مرتب کردن داده ها، قرار دادن آن ها دریک جدول و سازمان دهی داده ها، راهبرد مناسبی برای حل مسئله است و دانش آموزان در دوره ی ابتدایی باید آن را فرا بگیرند. پس از آن باید یاد بگیرند که چگونه داد ها را در یک جدول با نظم منطقی مرتب کنند. تشکیل جدول به صورت نظام دار این اطمینان را ایجاد می کند که تمام حالت های مختلف در نظر گرفته شده اند.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
«تعدادی سکه ی 5 تومانی، 10 تومانی و 25 تومانی در اختیار داریم. با چه تعداد از هر کدام یا ترکیب آن ها می توانیم 50 تومان پول جدا کنیم؟»
پاسخ های مختلف این مسئله را با حدس زدن و انجام محاسبات (ذهنی) می توان پیدا کرد و آن ها را در جدولی به شکل زیر سازماندهی کرد.
2
0
0
1
10
تعداد سکه ی 5 تومانی
4
5
0
2
0
تعداد سکه ی 10 تومانی
0
0
2
1
0
تعداد سکه ی 25 تومانی
اما با روش فوق نمی توانیم از این که تمام پاسخ های درست را پیدا کرده ایم یا خیر با روش منطقی اطمینان حاصل کنیم. اما اگر پاسخ ها را با یک نظم در جدول می نوشتیم با تشکیل جدولی نظام دار می توانستیم مطمئن شویم که تمام حالت های ممکن را در نظر گرفته ایم. در جدول نظام دار زیر، نظم نوشتن اعداد به این ترتیب است. از سکه ی 25 تومانی شروع می کنیم و بزرگ ترین عدد ممکن را قرار می دهیم سپس براساس سکه ی 10 تومانی بزرگ ترین عدد ممکن را قرار داده به همین ترتیب پیش می رویم.
10
8
6
4
2
0
5
3
1
0
5 تومانی
0
1
2
3
4
5
0
1
2
0
10 تومانی
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
25 تومانی
به این ترتیب، تمام 10 حالت ممکن به دست می آید.
3- حدس و آزمایش: حدس زدن برای بیشتر مردم چیز جدیدی نیست. هر دانش آموزی بارها در طول تحصیل آگاهانه یا ناخودآگاه در مورد جواب سؤال و مسائل حدس هایی زده است. روش حدس زدن، در زندگی روزمره از دوران کودکی تا بزرگ سالی مورد استفاده قرار می گیرد. دانشمندان هم از این روش استفاده می کنند، بنابراین، حدس و آزمایش نه تنها یک راهبرد، بلکه یک گردش و طرز فکر نیز هست.
ممکن است پس از آموختن راهبرد حدس و آزمایش، احساس کنید که این کار نوعی تقلب است اما در واقع چنین نیست و واقعاً این روش برای حل مسئله مؤثر است. حدس و آزمایش در فهمیدن مسئله به ما بسیار کمک می کند و به طور شگفت انگیزی نقطه ی شروع حل مسئله را به ما نشان می دهد. این راهبرد گاهی خیلی سریع به جواب می رسد و گاهی ممکن است امیدوار کننده نباشد. نباید دل سرد شویم بلکه باید با سازمان دهی بهتر و نظام دار همراه با سماجت برای حل مسئله تلاش کنیم.
وقتی حدس می زنیم و آزمایش می کنیم، باید اعتماد داشته باشیم که می توانیم مسئله را حل کنیم، حتی اگر در آغاز نتوانسته باشیم آن را خوب درک کنیم. باید حدس هایمان را هوشمندانه و با روشی نظام دار مورد ارزیابی قرار دهیم و تلاش کنیم حدس های بهتری بسازیم. پس از حدس زدن، نوبت به آزمایش کردن حدس می رسد که نیازمند اجرای عملیات ریاضی و محاسباتی است.
بنابراین، آزمایش کردن گاهی زحمت و درد سر هم دارد ولی نتیجه ی کار هر چه باشد، گاهی به جلو است.
گاهی ماهیت مسئله چنان است که با حدس و آزمایش نمی توان جواب را به راحتی به دست آورد ولی می توان تقریب و تخمین خوبی برای جواب به دست داد.
این راهبرد نیز معمولاً توسط معلمان مورد قبول واقع نمی شود در حالی که راهبردی مناسب برای حل مسایل است. در این راهبرد، دانش آموز پاسخ مسئله را حدس می زند. پس از بررسی حدس خود و آزمایش کردن آن، حدس بعدی را با استدلالی منطقی مشخص می کند. با ادامه دادن این فرآیند، کم کم فرد به پاسخ درست مسئله می رسد.
در آموزش این راهبرد 4 نکته اهمیت دارد. اول آن که دانش آموز حدس دوم به بعد را براساس نتایج بررسی حدس قبلی خود و با استدلالی منطقی تعیین می کند. دوم او باید یاد بگیرد مراحل حدس و آزمایش خود را به صورت مکتوب ارائه و استدلال خود را بیان کند، به طوری که دیگران قادر به درک مراحل حدس و آزمایش او شوند.
همان مسئله مرغ و گاه را با راهبرد حدس و آزمایش به ترتیب زیر نیز می توان پاسخ داد.
نتیجه
بررسی
تعداد گاو
تعداد مرغ
چون تعداد پاها بیش تر از 54 شد، تعداد گاوها باید کم شود
چون تعداد پاها بیش تر از 54 شد، تعداد گاوها باید کم شود
پاسخ درست
60=4×10+2×10
56=4×8+2×12
54=4×7+2×13
10
8
7
10
12
13
4- الگویابی: اهمیت مطالعه ی الگوها به حدی است که ریاضیات را علم الگوها نیز نامیده اند. الگوها در همه جا حضور دارند، در زندگی روزانه هزاران الگو وجود دارد. طراحی های صنعتی، رفت و آمد وسایل نقلیه، برنامه های تلویزیونی، سنگ فرش خیابان ها و منازل و پارک ها، طراحی های هنری و معماری همگی نشانه هایی از وجود الگوها در زندگی روزانه هستند.
نگاه آگاهانه و دقیق برای یافتن الگوها مهارتی مهم است که وجود آن برای حل مسئله و به طور کلی، مطالعه ی هستی ضرورت دارد. توانایی الگویابی موجب می شود که مسائل پیچیده به حد الگوها تنزل یابند و با استفاده از الگو به حل مسئله نایل شویم. معمولاً کلید یافتن یک الگو، سازمان دهی و تنظیم داده هاست. به همین دلیل، راهبردهای ارائه شده مورد استفاده قرار می گیرند.
کشف الگو و رابطه های بین داده های مسئله به حل آن کمک می کند. راهبرد الگویابی برای مسایلی که با استفاده از رابطه ها و قواعد تکرار پذیر طرح می شوند، مفید است. گاهی کشف الگو همان حل مسئله است و در مواقعی پیدا کردن الگو راه را برای حل مسئله باز می کند.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
با توجه به جدول مقابل اگر یک مجموعه n عضو داشته باشد، تعداد زیر مجموعه های آن چند تاست؟
4
3
2
1
0
تعداد عنصرهای یک مجموعه
16
8
4
2
1
تعداد زیر مجموعه ها
با کشف الگویی که در جدول فوق وجود دارد می توان رابطه ی n2 را به دست آورد.
در واقع راهبرد مناسب برای حل این مسئله الگویابی است.
5- حل مسئله ساده تر: گاهی مسئله پیچیدگی هایی دارد که نمی توان آن را به راحتی حل کرد اما وقتی مسئله را ساده می کنیم یا مسئله حل می شود یا روش حل آن ظاهر می شود.
وقتی مسئله در حالت ساده تر بررسی شد، با یک الگویابی می توان آن را به حالت کلی تعمیم داد. ساده کردن عددها و داده های یک مسئله نیز بخشی از این راهبرد است.
در مسئله ی زیر به جای عدد 3 5 و به جای عدد 244، 200 قرار دهید، یک بار دیگر مسئله را بخوانید در کدام حالت مهم مسئله ساده تر به نظر می رسد؟ «در یک کارخانه لوله هایی به طول 3 5 متر تولید می شود».
تولید این کارخانه در هر روز 244 لوله است. در هر روز چند متر لوله تولید می شود؟»
در حل مسئله ی زیر نیز ابتدا حالت های ساده در نظر گرفته می شود.
«رقم یکان عدد 3275 چند است ؟»
27 =33 9=32 3=31
... 243=35 81=34
با مشاهده ی رقم های یکان الگوی تکرار شدن رقم ها، یعنی (3،9،2و1) مشخص می شود. با تعمیم آن به 3257 می توان رقم یکان را تعیین کرد.
چندان سرحال نبود اما به ناچار بایستی کارهایی را که روی میزش انبار شده بود، انجام می داد. به همین دلیل قصد داشت دانش آموزان را به حل مسئله ای مشغول کند تا فرصتی به دست آورد و کارهایش را انجام دهد! با این فکر از جا برخاست و روی تخته ی کلاس نوشت: «حاصل جمع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را به دست آورید.»
تصور می کرد که این کار دست کم 30 دقیقه دانش آموزان را سر کار می گذارد! اما هنوز چند لحظه ای نگذشته بود که کارل گاوس نزد معلم رفت و پاسخ مسئله را که روی تخته ای چوبی نوشته بود، روی میز او گذاشت و گفت: مسأله حل شد. در حالی که بقیه ی شاگردان، کار خود را تازه شروع کرده بودند. معلم که از نادرست بودن پاسخ پسرک کاملاً مطمئن بود، اصلاً به نوشته ی او توجه نکرد و او را به گزافه گویی متهم نمود! مدت زمانی نسبتاً طولانی گذشت! حالا دیگر معلم همه ی می گذاشتند. به این ترتیب، آخرین لوحی که معلم نگاه کرد، متعلق به گاوس بود. او با تعجب دید که جواب گاوس درست است! واقعاً گاوس مسئله را چگونه حل کرده بود؟ داستانی که گاوس در مورد راه حل خود گفت، چه بود؟
از یک تا صد
مجموع اولین صد عدد طبیعی چه قدر است؟
شما می توانید این مسئله را حل کنید. این تجربه ی عالی را از دست ندهید!
راه هایی گوناگونی برای حل کردن این مسئله وجود دارد. یکی از آن ها این است که کاغذ و قلم را برداریم و شروع به جمع کردن کنیم (پشت سر هم جمع کنیم) یا ماشین حساب را روشن کنیم و به کمک آن، عملیات را انجام دهیم! اما گاوس ماشین حساب نداشت؛ بنابراین، او باید از راه دیگری رفته باشد. روش دیگر این است که راهبرد زیر مسئله و الگویابی را ترکیب کنیم و به حل مسئله بپردازیم.
مجید راه حل خود را به این شکل توضیح می دهد:
من مسئله را به چند زیر مسئله شکستم؛ به این ترتیب که ده تا ده تا به صورت زیر جمع کرده:
زیر مسئله ی 1: 55=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
زیر مسئله ی 2: 155=20+19+18+17+16+15+14+13+12+11
زیر مسئله ی 3: 255=30+29+28+27+26+25+24+23+22+21
آن گاه، فوراً الگویی به نظرم رسید:
.... 355،255،155،55
این اعداد را با هم جمع کردم و جواب به دست آمد.
505= 955+855+...+355+255+155+55
مجید اضافه می کند:«زیر مسئله ها و الگویابی کار را بسیار ساده کرد. البته، من از ماشین حساب هم استفاده کردم؛ در صورتی که دویست سال پیش ماشین حساب وجود نداشت».
واقعاً گاوس این مسئله را چگونه حل کرده است؟ شاید او داستان راه حل مسئله را به صورت زیر بیان کرده است:
موقعی که معلم این مسئله را روی تخته ی کلاس نوشت، واقعاً نمی خواستم آن را حل کنم. فکر کردم که او می خواهد ما را سرگرم کند؛ چون بچه ها خیلی شلوغ کرده بودند. آن ها موشک و هواپیمای کاغذی به طرف یک دیگر پرتاب کرده بودند و همه جای کلاس پر از آشغال و کاغذ شده بود! ولی من هیچ کاری نکرده بودم و به همین دلیل، احساس می کردم که نباید تنبیه شود. بچه ها مشغول تمیز کردن اطراف میزهایشان شدند و من نمی خواستم با آن ها در این کار همراه شوم؛ بنابراین، برای لحظه ای به مسئله فکر کردم. اول تصور می کردم که جمع کردن اعداد از 1 تا 100 زمان زیادی طول خواهد کشید.
در نتیجه، روی 1 تا 10 فکر کردم، می دانستم بدون هیچ مشکلی می توانم آن ها را با هم جمع کنم.
.... 150=5+10. 10=4+6 . 6=3+3. 3=2+1
خیلی زود از این کار خسته شدم. تصور نمی کردم که بتوانم تا 100 ادامه بدهم؛ باید راه ساده تری هم وجود داشته باشد. به نظرم رسید که لازم نیست اعداد را با همان ترتیب با هم جمع کنم.
می توانستم از هر ترتیبی که دلم می خواست استفاده کنم. پس، شروع به بازی با اعداد کردم. 1 را با 5 جمع کردم، 6 شد 2 را با 4 جمع کردم، دوباره 6 به دست آمد. به نظر عجیب آمد. دوباره شروع کردم و این دفعه 10 را با 1 جمع کردم. 11 شد. سپس 2+9 . 3+8 . 4+7 . 5+6 ، که همگی برابر 11 شدند. پس جمع تمام اعداد از 1 تا 10 برابر بود با 11×5؛ چون 5 گروه 11 تایی بود.
با این تجربه، فوراً دریافتم که چگونه باید مسئله ی اولیه را حل کنم.
101= 98+3 101 = 100+1
101=97+4 101=99+2
همین طور ادامه دادم و 50 گروه با مجموع 101 بدست آوردم؛ بنابراین، حاصل 5050 = 101 ×50 شد. با شادمانی بسیار و در حالی که لوحم را به دست گرفته بودم، نزد معلم رفتم ولی او....
کاری که کارل گاوس در قرن هجدهم انجام داد، درسی بزرگ برای ما دارد. اگر احساس می کنید مسئله سخت است، سعی کنید آن را به مسئله ای ساده تر تبدیل کنید.
در این جا روش هایی را ارائه می کنیم که برای ساختن یک مسئله ی ساده تر و مربوط به مسئله ی اصلی، می توانند مؤثر و راه گشا باشند.
1- از یک عدد ساده و مناسب به جای یک متغیر استفاده کنید.
2- عددهای کوچک تر یا ساده تر را جایگزین عددهای خیلی بزرگ سخت کنید.
3- مجموعه های از مثال های ساده تر را انجام دهید و در میان این حالت های ساده، در پی یافتن یک الگو باشید.
4- یک مثال خاص و ساده تر را انجام دهید و براساس آن، فرآیند ساده تری را کشف کنید و با استفاده از آن به حل مسئله اصلی بپردازید.
5- اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید.
6- بعضی از شرط ها را تغییر دهید، ثابت نگه دارید یا کنار بگذارید.
6- زیر مسئله : مسئله های پیچیده و چند هدفی معمولاًً از چند مسئله ساده تشکیل شده اند. گاهی حل یک زیر مسئله و یا زنجیره ای از زیر مسئله ها منجر به حل مسئله اصلی می شوند.
تشخیص زیر مسئله ها و حل آن ها راهبرد مهمی برای مسئله های ترکیبی هستند.
در آموزش این راهبرد به دو نکته باید توجه کرد. اول تشخیص زیر مسئله ها، سپس نوشتن (تشکیل) مسئله های کوچک و حل آن ها برای رسیدن به پاسخ نهایی مسئله.
شاهپانزه در اتاقکی زندگی می کند و گرسنه است. ناگهان در بیرون اتاقک، موزی را می بیند که روی زمین افتاده است.
شاهپانزه می تواند دست خود را از لای میله های اتاقک بیرون آورد ولی دستش به موز نمی رسد. حیوان با جدیت تلاش می کند تا به موز دست یابد. درست روبه روی موز پشت میله ها نشسته است . در بیرون اتاقک، قطعه چوبی روی زمین افتاده است که دست حیوان به آن می رسد. ابتدا به آن توجهی نمی کند. ناگهان به هیجان می آید، چوب را بر می دارد و آن قدر تلاش می کند تا به وسیله ی چوب موز را به دست می آورد و می خورد. اگر چه این مشاهده برای آزمایش های روان شناسی هم بسیار مهم است ولی تفکری زیبا و ریاضی گونه مربوط به حل مسئله در آن وجود دارد. در واقع، میمون دو مسئله را حل کرده است.
الف) برداشتن موز
ب) برداشتن قطعه چوب
مسئله ی الف پیش از پیدایش مسئله ی ب وجود داشت. در ابتدا میمون هیچ علاقه ای به چوب نشان نمی داد، زیرا گرسنه بود اما می دانست که چوب خوردنی نیست با وجود این اول مسئله ی ب را حل کرد حل مسئله ی ب، راه را برای حل مسئله ی اصلی الف باز کرد. میمون مستقیماً به حل مسئله ی الف علاقه مند بود و تنها به طور غیر مستقیم متوجه ی مسئله ی ب شد.
«خلاقیت ریاضی – پولیا»
مسئله ی الف مسئله ی اصلی و مسئله ی ب یک زیر مسئله یا مسئله ی درون مسئله یا یک مسئله ی کمکی برای مسئله ی الف است.
همه ی راهبردهایی که تاکنون مورد بحث قرار گرفته اند، با سازمان دهی اطلاعات سروکار دارند.
رسم یک شکل، اطلاعات را به صورت تصویری سازمان دهی می کند. راهبردهای تنظیم جدول نظام دار، حدس و آزمایش نیز به نوع دیگر، داده ها را تنظیم و مرتب می کنند. راهبرد مسئله های درون مسئله دارای نگاهی متفاوت است و با طرح نقشه و چگونگی یورش به مسئله سروکار دارد.
مسئله ی زیر را به عنوان نمونه ای ساده در نظر بگیرید.
«اگر 17=1- x3 ، آن گاه مقدار 4- x 2 را بیابید».
برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله ی 17=1-x3 را حل کرد و سپس مقدار x را در عبارت 4- x2 قرار داد تا جواب مسئله به دست آید. در این جا، حل معادله ی 17= 1- x 3 یک زیر مسئله برای مسئله ی اصلی است.
7- حذف حالت های نامطلوب: وقتی از تمام حالت های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده های آن حالت های نامطلوب یکی یکی یا دسته دسته حذف می شوند، خود را به پاسخ مسئله نزدیک می کنیم. این راهبرد، حذف حالت های نامطلوب نام دارد.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
«جذر تقریبی عدد 750 را به دست آورید.»
برای این کار می توانیم از دو مربع کامل 400 و 900 استفاده کنیم.
30500√ 20
فاصله ی بین 20 و 30 را نصف می کنیم تا به عدد 25 برسیم از آن جا که 625=252 است می توان نتیجه گرفت.
30750√ 25
به همین ترتیب با نصف کردن فاصله ی بین 25 و 30 و تکراراین عمل می توان پاسخ جذر را با دقت مورد نظر تعیین کرد.
یکی از بازی های فکری که در دوران کودکی و نوجوانی بیش تر رواج دارد. «مسابقه ی بیست سؤالی» است. نوعی از مسابقه ی بیست سؤالی را که فکری تر است و با ریاضی سروکار بیش تری دارد، بررسی می کنیم.
بین 1 تا 100، عددی را در ذهن خود انتخاب کنید و از دوستتان بخواهید برای شناسایی عدد مورد نظر شما حداکثر 20 سؤال مطرح کند و شما فقط جواب «آری» یا «خیر» بدهید. با این فرض که همه ی پاسخ ها درست باشند، در صورتی که دوست شما نتواند با 20 سؤال، عدد انتخابی شما را کشف کند، بازی را می بازد. یک نمونه مسابقه ی بیست سؤالی را بررسی می کنیم . سؤال ها و جواب ها در زیر آمده است.
سؤال
جواب
آیا عدد شما 13 است؟
خیر
آیا از 50 بزرگ تر است ؟
بله
آیا 62 است؟
خیر
آیا از 75 بزرگ تر است ؟
بله
آیا عددی فرد است؟
خیر
آیا 83 است؟
خیر
آیا از 85 کوچک تر است ؟
بله
آیا از 80 هم کوچک تر است؟
بله
آیا 76 است ؟
خیر
عدد شما 78 نیست؟
بله
کدام سوال ها با ارزش است؟ کدام سؤال بی ارزش است و موجب از دست رفتن فرصت می شود.
سؤال های »آیا عدد 13 است؟» و «آیا 62 است؟» سؤال هایی کم ارزش محسوب می شوند. و تنها حاصل آن ها این است که در می یابیم این دو عدد جزء حالت های نادرست هستند.
سؤال «آیا عدد از 50 بزرگ تر است؟» سؤال بسیار عالی است، زیرا هر یک از جواب های «بله» یا «خیر» باعث می شود و 50 عدد را به عنوان حالت های نادرست حذف کنیم. سؤال های «آیا از عدد 75 بزرگ تر است؟ » و «آیا فرد است؟» سؤال هایی بسیار هوشمندانه هستند ولی سؤال «آیا عدد انتخابی 83 است؟» سؤال خوبی نیست.
8- روش های جبری و تشکیل معادله: مدل سازی بسیاری از مسئله ها با روش های جبری است. تشکیل معادله یا معادلات مسئله را به دنیای ریاضی برده و آن را به یک مسئله جبری (ریاضی) تبدیل می کند. این راهبرد بیش تر در سال های پایانی آموزش عمومی کاربرد وسیع دارد.
جمعه بازار:
دست فروشی اجناس خود را در یک جمعه بازار حراج کرده بود. او هر قلم جنس را به قیمت هزار تومان می فروخت و سعی می کرد به هر مشتری فقط، یک قلم جنس بفروشد، البته اگر مشتری های خوب چانه می زدند، نمی توانستند جنس مورد نیاز خود را به نصف قیمت هم از او بخرند. دست فروش در پایان روز متوجه شد که همه ی دوازده قلم جنس خود را فروخته و 9500 تومان به دست آورده است. در صورتی که او از هر خریدار فقط یک اسکناس هزار تومانی یا پانصد تومانی دریافت کرده باشد، از هر کدام از این اسکناس ها چند تا دارد؟
برای حل این مسئله، ابتدا یک جدول حدس و آزمایش تنظیم کنید و سپس از جبر استفاده کنید.
قبل از نگاه کردن به راه حل ، روی مسئله کار کنید.
معلم جدول حدس و آزمایش را روی تابلو رسم کرد و چگونگی شروع کار روی مسئله را توضیح داد. آن گاه به کمک دانش آموزان دو ردیف اول جدول را نوشت.
مقایسه
کل پول
مقدار پانصد تومانی ها
مقدار هزار تومانی ها
اسکناس پانصد تومانی
اسکناس هزار تومانی
کم تر
8500
3500
5000
7
5
بیش تر
10000
2000
8000
4
8
معلم قبل از این که به جواب برسد از دانش آموزان خواست که حل مسئله را به کمک راهبرد جبری ادامه دهند. یکی از دانش آموزان این مسئله را با استفاده از راهبرد جبری حل کردند و راه حل را به این صورت برای کلاس توضیح دادند.
استدلال: ابتدا تصمیم گرفتم تعداد هزار تومانی ها را با t نشان بدهم، بنابراین، t را در ستون هزار تومانی ها زیر عدد 8 نوشتم. سپس سعی کردم. بفهم که در ستون دوم، زیر عدد 4 چه عبارتی را باید قرار دهم. چون دست فروش 12 قلم جنس داشت، بنابراین، اختلاف 12 و t بایستی تعداد 500 تومانی ها را مشخص کند، پس در ستون دوم زیر عدد 4 بایستی یکی از دو عبارت t -12 و 12- t را می نوشتم؛ من با دوستم روی مسئله کار کردم. او گفت که 12- t غلط است، برای این که اگر 8= t، آن گاه 12- tبرابر 4- می شود که معنی نمی دهد. او گفت که باید t-12 را نوشت. دو حدس قبلی را با t-12 آزمایش کردیم، هر دو درست بودند. 7=5-12 و 4=8-12
بنابراین تصمیم گرفتیم t-12 را درستون دوم زیر عدد 4 بنویسیم.
دوباره به حدس های قبلی نگاه کردم و متوجه شدم که باید ستون های مجموع هزار تومانی ها و پانصد تومانی ها را کامل کنم. این دو ستون را فوراً تکمیل کردم. چون می دانستم که باید اولی را در 1000 و بعدی را در 500 ضرب کنم.
مقایسه
کل پول
کل مقدار پانصد تومانی ها
کل مقدار هزار تومانی ها
پانصد تومانی ها
هزار تومانی ها
3500
5000
7
5
2000
8000
4
8
(t-12) 500+ t1000
(t-12) 500
t1000
12- t
t
برای محاسبه کل پول، مشکلی نداشتیمف زیرا می دانستیم که مقدار پانصد تومانی ها و هزار تومانی ها را باید با هم جمع کنیم. اما مسئله ی اصلی، نوشتن معادله بود. ابتدا نمی دانستیم این کار را چگونه باید انجام دهیم.
با استفاده از راهبرد حدس و آزمایش و با مشاهده ی ستون آخر جدول، متوجه شدیم زمانی به جواب می رسیم که در ستون آخر نه کلمه ی بیش تر و نه کلمه ی کم تر، بلکه باید کلمه ی مساوی باشد، اما با چه چیزی باید مساوی باشد؟ صورت مسئله را با دوستم دوباره خواندیم و متوجه شدیم که باید با 9500 تومان برابر شود. بنابراین، در ستون آخر نوشتیم؟
9500=( t-12) 500+ t 1000
در این جا نفس راحتی کشیدیم، زیرا حل این معادله کار واقعاً ساده ای بود.
9500=( t-12) 500+ t 1000
9500 = t 500 – 6000 + t 1000
9500= 6000 + t 500
3500 = t 500
7= t
من عادت دارم که در پایان عملیات جبری در حل یک مسئله، جواب را با سؤال مسئله مقایسه کنم. در این مسئله وقتی 7= t را به عنوان جواب یادداشت کردم، آن را با سؤال مقایسه کردم. و متوجه شدم که مسئله از ما می پرسد!
او از هر نوع اسکناس چند تا دارد؟ در این جا من فقط یک عدد به عنوان جواب داشتم، در صورتی که دو نوع اسکناس وجود داشت. به جدول دقت کردم، ستون اول و دوم تعداد هر نوع اسکناس را مشخص می کرد. معلوم شد اگر تعداد 1000 تومانی ها t باشد، تعداد پانصد تومانی ها t-12 است، بنابراین، تعداد اسکناس های 500 تومانی: 5=7-12
یکی دیگر از دانش آموزان این مسئله را از راهی مشابه ادامه داد و تصمیم گرفت به جای یک متغیر از دو متغیر استفاده کند. او به جای این که تعداد 500 تومانی ها را با t-12 نشان دهد، از نماد n استفاده کرد. به صورت جدول زیر:
مقایسه
کل پول
مقدار پانصد تومانی ها
مقدار هزار تومانی ها
کل
اسکناس ها
تعداد پانصد تومانی ها
تعداد هزار تومانی ها
کم تر
7500
2500
5000
10
5
5
کم تر
9000
7000
2000
16
14
2
بیش تر
10000
2000
8000
12
4
8
9500=n 500 + t 1000
n 500
t 1000
n + t
n
t
این دانش آموز از دستگاه دو معادله ی دو مجهول استفاده کرد. یک معادله به وضوح 9500=n 500 + t 1000 است. ولی معادله دیگر چگونه به دست می آید؟ ستون سوم، دومین معادله را مشخص می کند. تعداد اسکناس ها برابر تعداد جنس ها ست، بنابراین، معادله ی دوم 12 = n +t خواهد بود.
t 7= 3500=
500 }
1000t 500+n 9500=
t+n 12=
x- (500)500 t+(-500 n)=-6000
1000 t+500 n = 9500
500 t + 0 = 3500بنابراین 3500 = t 500 و در نتیجه برای به دست آوردن n دستگاه زیر داریم،
t +n=12
t 7=
7+n=12 n=5}
سپس دست فروش 5 اسکناس 500 تومانی و 7 اسکناس 1000 تومانی دارد.
نتیجه:
در پایان با استفاده از این راهبردها و به کمک آن ها به حل مسائل می پردازیم. شاید این سؤال پیش آید که آیا هر مسئله ای از طریق یک راهبرد حاصل حل می شود، در پاسخ این سؤال به این نکته اشاره می کنیم که یکی از راه هایی که دانش آموز را به یک مسئله حل کن ماهر تبدیل می کند، این است که از طریق راهبردهای گوناگون به حل مسئله بپردازد. عامل دوم که موجب مهارت در حل مسئله می شود، دست به عمل زدن و حل کردن تعداد زیادی مسئله است بنابراین قبل از مطالعه ی راه حل مثال های مورد نظر و بررسی آن ها برای حل مسئله تلاش کند.
این کار بسیار سودمند است حتی اگر مسئله را درست حل نکنید.
بررسی و بحث در مورد راه حل ها عامل سومی است که دانش آموز را به مسئله حل کن ماهری تبدیل می کند. راه حل ها را برای دوستان و هم کلاسی ها خود توضیح دهید تا مورد نقد و سؤال قرار گیرید. سپس سعی کنید به سؤال ها پاسخ منطقی بدهید. احساس خود را نسبت به چگونگی راه حل ها بیان کنید و در مورد زیبایی آن ها قضاوت نمایید. راه حل های نادرست را کم اهمیت نشمارید، زیرا گاه نسبت به راه حل های معمولی حاوی نکات زیباتر و ارزشمندتری هستند. همیشه پس از این که مسئله ای را حل کردید، راه حل آن را با دقت بسیار بنویسید.
منابع و مآخذ:
کتاب معلم، راهنمای تدریس (خسرو داودی، زهره بندی، کبری دلشاد، وزیری هامانه، پرویز شهریاری).
کتاب آموزش هنر حل مسئله (یحیی تابش، جواد حاجی بابایی و آرش رستگار).
پیشنهاد:
1- برای این که یک ارزشیابی مستمر از دانش آموزان داشته باشیم علاوه بر امتحانات کلاسی و خواستن کار کلاسی و حل تمارین داخل کتاب ریاضی می توانیم به طور مداوم یک سری تمرین های خارج از کتاب به دانش آموزان بدهیم البته نه به طور یکسان برای همه دانش آموزان بلکه براساس تواناییی آنها در حل تمرینات، به دانش آموزان خوب تمرینات مشکل تر و برای دانش آموزان ضعیف تمرینات ساده تر و از آنها حل این تمرینات را حتماً بخوانیم بدین ترتیب دانش آموزان کمتر به حفظیات خود که همان تمرینات داخل کتاب هستند پسنده می کنند و باعث می شود که دانش آموزان فعال تر شوند در درس ریاضی.
2- یکی از راههایی که می توان دانش آموزان ضعیف را به حد یک دانش آموز متوسط برسانیم می توانیم از همان ابتدای سال با یک ارزشیابی اولیه از مطالب کتاب سال گذشته و درسهای جلسات اول دانش آموزان ضعیف را بشناسیم و به مدیر مدرسه معرفی کنیم و با همکاری مدیر مدرسه و با در جریان گذاشتن اولیای آنها، در طول هفته یک جلسه یا دو هفته ای یک جلسه فوق العاده برای آنها بگذاریم و برای آنها درسهای طول هفته را تکرار کنیم و تمرین اضافه برای آنها حل کنیم.
3- یکی از راههایی که بتوانیم در موقع درس توجه بچه ها را بیشتر به درس جلب کنیم این است صندلی دانش آموزان از هم فاصله داشته باشند و یا اینکه دانش آموزان ضعیف تر را به ردیفهای اول کلاس بیاوریم. در این صورت از شیطانی تکردن و حرف زدن دانش آموزان کاسته می شود و کنترل کلاس راحتر و تسلط معلم بر کلاس بیشتر است و وابستگی دانش آموز به دوستانش در پاسخ به سئوالات کمتر می شود.
مسئله انبه در شكل شماره 1 مطرح شده است. قبل از مطالعه بقیه این طرح درس ، ابتدا مسئله را خوانده و به حل آن اقدام كنید. به چگونگی مراحل حل مسئله خود توجه نمایید. اگر گیج شده و موفق به حل نشدید ، در جستجوی راهبرد دیگری برای حل آن درآیید.
یك شب كه پادشاهی از گرسنگی ، نتوانست بخوابد به آشپزخانه سلطنتی رفت و در آنجا ظرفی پر از انبه یافت. چون گرسنه بود انبه ها را خورد و به اتاقش بازگشت. كمی بعد در همان شب ، ملكه نیز از شدت گرسنگی نتوانست بخواند . بنابراین او نیز در آشپزخانه ، انبه ها را یافت و انبه های باقیمانده را خورد. كمی بعد بزرگترین شاهزاده بیدار شد و باقیمانده انبه ها را خورد.پس از او برادرش شاهزاده وسطی ، انبه های باقیمانده را خورد.سرانجام كوچكترین برادر انبه های باقیمانده را خورد . بدین ترتیب فقط 3 انبه برای خدمتكاران باقی ماند. در ابتدا چند انبه توی ظرف بود؟
مسئله انبه ، مورد علاقه معلمانی است كه مایلند توانایی های حل مسئله را در دانش آموزانشان توسعه دهند. زیرا دانش آموزان راهنمایی می توانند این مسئله را حداقل از 4 راهبرد متفاوت حل نمایند.( راهبردهای حدس و آزمایش ، رسم شكل ، زیر مساله ، و تشكیل معادله ) این مسئله ، مثالی عالی برای نمایش قدرت و غنای ریاضی هنگام بكارگیری راهبردهای چندگانه در حل مسئله می باشد.
از این مسئله همچنین می توان برای اهداف آموزشی متنوع مانند ارزشیابی استفاده كرد در مواقعی كه هدف ما از ارزشیابی ، توانایی دانش آموز در كاربرد راهبردهای متنوع باشد. همچنین با هدف استفاده از انواع راهبردها تا حد امكان ، از این مسئله می توان به عنوان تكلیف در كارگروهی مشاركتی بهره برد.
در مطالب زیر ، به هر یك از 4راهبرد مسئله انبه بصورت خلاصه می پردازیم همچنین تجربیات حاصل از اجرای عملی این راهبردها در كلاسها بیان می گردد ، دو تعمیم جالب برای مسئله پیشنهاد شده و مثالی از یك مسئله مشابه ( ملوان ها و نارگیل ها) در ادامه ی توسعه طرح درس برای بررسی بیشتر چهار راهبرد مذكور ، داده خواهد شد.
راهبرد حدس و آزمایش
در این راهبرد دانش آموزان ابتدا تعداد اولیه انبه های داخل ظرف قبل از ورود پادشاه به آشپزخانه را حدس می زنند سپس آنها برای بررسی حدس خود ، آن را با اطلاعات داده شده در مسئله می سنجند. اگر حدسشان درست نباشد ، بار دوم حدس بهتری را ( با استدلال منطقی ) مشخص می كنند. این فرآیند همچنان ادامه می یابد تا به پاسخ درست مسئله برسند . احتمالا برخی از دانش آموزان حدس هایی می زنند كه غیرمعقول و نامربوط است .
در این موارد معلمان باید چگونگی آغاز یك حدس معقول را بدان ها خاطر نشان كنند و با آنها راجع به تشكیل جدولی برای ثبت و سازمان دهی اطلاعات مربوط به حدس های خویش ، صحبت نمایند.بدین ترتیب دانش آموزان براحتی از این راهبرد استفاده خواهند نمود.
تجربه عملی :
یكی از گروهها بسرعت فهمیدند كه حدس اولیه آنها باید بر 6 قابل قسمت باشد تا پادشاه بتواند آن را بخورد و عدد 24 را به عنوان حدس اولیه بیان كردند اما در پایان مسئله 4 انبه به جای 3 انبه باقی ماند . بنابراین گروه فهمید كه تعداد اولیه 24 انبه زیاد بوده و حدس خود را به عدد 18 اصلاح كرد . گروه با آزمایش عدد 18 فهمید كه پاسخ صحیح مسئله است.
در گروه دیگری كه آنها هم فهمیدند حدس اولیه باید بر 6 قابل قسمت باشد ، عدد 12 را پیشنهاد كردند. باآزمایش این عدد ، در پایان فقط 2 انبه باقی ماند. سپس انها به عدد بعدی قابل قسمت بر 6 یعنی 18 رسیدند.
برخی از گروهها درنیافتند كه پاسخ باید بر 6 بخش پذیر باشد. آنها با حدس اعداد 16 و 14 نتوانستند بصورت دستی تقسیمات مسئله را انجام دهند و از ماشین حساب كمك گرفتند.
حدس اولیه یكی از گروهها 1000 بود كه به 100 ، 30 ، 20 ، 19 و 18 اصلاح شد. آنها برای حدس اولیه خود از هیچ منطقی استفاده نكردند جز اینكه پس از آزمایش این حدس ، تعداد انبه های باقی مانده را بسیار زیاد یافتند.
راهبرد رسم شكل :
سهولت حل این مسئله با این راهبرد شگفت انگیز است. بدین منظور ابتدا مستطیلی رسم كنید كه نشان دهنده تعداد اولیه انبه ها باشد . چون پادشاه انبه ها را خورده است ، مستطیل را به 6 قسمت تقسیم كرده و 1 قسمت آن را حذف كنید.
در اینصورت 5 قسمت مساوی باقی می ماند كه ملكه 1 قسمت آن را خورده است. بنابراین 1 قسمت از 5 قسمت را هم حذف می كنیم.
به همین ترتیب شكل باقی مانده را برای شاهزاده بزرگ
و شكل باقی مانده را برای شاهزاده وسطی
و شكل باقی مانده را برای شاهزاده كوچكتر حذف می كنیم .
بدین ترتیب فقط 1 قسمت از مستطیل باقی می ماند كه معادل 3 انبه می باشد .
اگر هر قسمت از مستطیل معادل 3 انبه باشد پس كل مستطیل یعنی تعداد اولیه انبه ها 18 خواهد شد. 18= 3×6
با این راهبرد بصورت تصویری و ملموس ، می توان مراحل حل مسئله را بخوبی نشان داد.
تجربه عملی :بیشتر دانش آموزانی كه از این راهبرد استفاده كردند ، دانش آموزان سالهای اول راهنمایی بودند . یكی از گروهها ابتدا 6 دایره مساوی رسم كرد و روی یكی از آنها نام پادشاه را نوشت سپس روی یكی از 5 دایره باقی مانده نام ملكه و بهمین ترتیب روی آخرین دایره ، تعداد انبه های باقیمانده یعنی عدد 3 را نوشت و با جمع زیر به پاسخ مسئله دست یافت . 18=3+3+3+3+3+3گروه دیگری ، دایره ای رابه 6 قسمت مساوی تقسیم كرد و هر قسمت را به یكی از افراد خانواده سلطنتی نسبت داد و با محاسبه زیر به جواب مسئله رسید. 18= ( 3× 5 ) + 3
گروه دیگری نیز گرچه با روش مشابه حل كرد اما در پایان نتوانست با نسبت دادن عدد 3 به یك قسمت از دایره به پاسخ مسئله برسد و فقط عدد 3 را با تعداد قسمت های دایره یعنی 6 جمع كرد.
راهبرد زیر مساله :
استفاده از این راهبرد برای حل این مساله نه تنها برای دانش آموزان راهنمایی بلكه برای بزرگسالان هم آسان نیست. استفاده از این راهبرد مستلزم حل مساله از آخر به اول است. در این راهبرد ابتدا باید مساله را به چند مساله ی کوچک تقسیم کرد و مرحله به مرحله به حل آن پرداخت.
الف- ابتدا از انتهای مسئله شروع می كنیم( یعنی 3 انبه باقی مانده)
ب- بصورت برعكس مراحل مسئله را انجام می دهیم.
ج- با دقت مقدار هر مرحله را محاسبه می كنیم تا از انتها به ابتدای مسئله برسیم. برای مسئله انبه ها چنین انجام می دهیم : در انتهای مسئله 3 انبه باقی مانده بود كه نشان دهنده انبه هایی بود كه شاهزاده كوچك با آن مواجه شد. در اینصورت شاهزاده كوچك باید قبل از خوردن انبه ، 6 انبه دیده باشد. تا این جا فهمیدیم وقتی شاهزاده وسطی انبه ها را خورد 6 انبه باقی ماند. بنابراین 6 انبه معادل تعداد انبه ها بوده 9= × 6 پس قبل از اینكه شاهزاده وسطی انبه ای بخورد 9 انبه در ظرف بود. بهمین ترتیب 9 انبه ، نشانگر انبه هایی است كه شاهزاده بزرگتر با آن مواجه شد. پس 12=×9
قبل از اینكه شاهزاده بزرگتر انبه ای بخورد 12 انبه در ظرف بود. بطور مشابه می توان محاسبه كرد: 15= ×12 یعنی قبل از خوردن ملكه 15 انبه در ظرف بود.و
18= ×15 در ابتدا 18 انبه در ظرف موجود بوده است.
تجربه عملی :
بعضی از دانش آموزان در انجام قسمت های 2 به بعد مشكل داشتند. برخی برای یافتن پاسخ هر مرحله ، از راهبرد حدس و آزمایش استفاده می كردند.
برخی این راهبرد را با راهبرد “ یافتن یك الگو“ ادغام كردند و وقتی در مراحل معكوس ، اعداد 3و 6 و9 را یافتند با الگوی ( هر دفعه 3 تا اضافه می شود ) به پاسخ 18 رسیدند.
برخی از دانش آموزان سه راهبرد “ زیر مساله “ “ رسم شكل “ و “ الگویابی “ را با هم تركیب كردند. آنها ضمن رسم شكل ، الگوی افزایش سه تایی به اعداد را هم استفاده كردند. دانش آموزی كه سریعتر از بقیه از این راهبرد به پاسخ صحیح رسید چنین استدلال می كرد:
6 نشان دهنده یك چیز است . پس آن چیز باید 3 باشد پس اگر 6 ( آن چیز ) را با 3 ( آن چیز ) جمع كنیم ، یعنی آن چیز را بدست آورده ایم.و بدین ترتیب به عدد 9 رسید.
برای بدست آوردن عدد 12 از 9 چنین استدلال كرد: عدد 9 سه چهارم یك چیز است. اگر آن را به 3 تقسیم كنیم، آن چیز بدست می آید، حال اگر 3 را با 9 جمع كنیم آن چیز بدست می آید. راهبرد تشكیل معادله :
برای دانش آموزان راهنمایی ، تشكیل معادله ای به منظور حل مسئله فوق ، بسیار دشوار است . برای تشكیل معادله ابتدا متغیر x را به تعداد اولیه انبه ها اختصاص می دهیم. چون پادشاه انبه ها را خورده پس مقدار باقیمانده آن برابر می گردد. ملكه انبه های باقیمانده را خورد. پس از خوردن ملكه این مقدار باقی ماند : شاهزاده بزرگتر انبه های باقیمانده را خورد یعنی مقدار باقیمانده برابر می گردد. شاهزاده وسطی انبه های باقیمانده را خورد بنابراین باقی می ماند. سرانجام شاهزاده كوچكتر مقدار باقیمانده را خورد یعنی چون مقدار باقیمانده x مساوی 3 می باشد پس 3= x و 18= x
برای تمرین راهبردهای مطرح شده، می توان از مسئله زیر معروف به “ ملوانها و نارگیل ها “ نیز استفاده نمود. سه ملوان به جزیره بی آب و علفی رسیدند كه محل زندگی دسته ای از میمون ها بود. ملوان ها تمام روز به جمع آوری نارگیل پرداختند و شب هنگام آنقدر خسته بودند كه نارگیل ها را نشمردند. آنها توافق كردند كه صبح روز بعد نارگیل ها را بین خودشان به تساوی قسمت كنند . در نیمه های شب یكی از ملوان ها بیدار شد و تصمیم گرفت سهم خود را بردارد. او فهمید كه وقتی نارگیل ها را به سه قسمت مساوی تقسیم كند یكی از نارگیل ها اضافه می آید بهمین خاطر آن را برای میمون ها انداخت و سهم خود را برداشت و رفت. كمی بعد دومین ملوان بیدار شد و مانند ملوان قبلی خواست تا سهم خود را بردارد . او نیز وقتی نارگیل های باقیمانده را به سه قسمت كرد 1 نارگیل اضافه آمد كه آن را برای میمون ها انداخت. سپس سهم خود را برداشت و رفت.بهمین ترتیب سومین ملوان هم بیدار شد و دقیقا همان كارها را انجام داد یعنی نارگیل های باقیمانده را برداشت و 1 نارگیل را برای میمون ها انداخت. صبح روز بعد ، ملوان ها متوجه شدند كه كپه نارگیل ها خیلی كوچك شده ولی هر یك تصور می كرد كه فقط او از نارگیل ها برداشته و بدین خاطر هیچكس حرفی نزد. آنها نارگیل های باقی مانده را به سه قسمت مساوی كردند و به هر یك 7 نارگیل رسید و 1 نارگیل هم اضافه آمد كه ان را برای میمون ها انداختند. حال شما بگویید كه در ابتدا ملوان ها چند نارگیل جمع آوری كردند؟
پاسخ این مسئله 79 نارگیل است. برای حل، ابتدا از راهبرد بزیر مساله به همان ترتیب از آخر به اول استفاده كنید اما همزمان راهبرد رسم شكل را نیز بكار برید.
این مسئله را می توان به شكل دیگری نیز مطرح كرد یعنی بجای اینكه بگوییم “ در پایان ، تعداد نارگیل های باقیمانده را كه قسمت كردند به هر ملوان 7 نارگیل رسید و 1 نارگیل برای میمون ها باقی ماند“ بگوییم “ در پایان تعداد نارگیل های باقیمانده ، بطور مساوی بین سه ملوان قسمت شد و 1 نارگیل برای میمون ها باقی ماند“.
این كار باعث می شود تا دانش آموزان از راهبرد حدس و آزمایش هم استفاده كنند و برای تعداد نارگیل های هر ملوان حدس های مختلفی بزنند. البته آنها بسرعت می توانند حدس های غیر منطقی را حذف نمایند زیرا عدد پیشنهادی باید بر 3 قابل قسمت باشد تا بتواند بین 3 ملوان تقسیم گردد. توسعهبرای اینكه دانش آموزان را به تعمیم و تشخیص الگوهای ریاضی وادار كنیم ، می توان مسئله انبه ها را به دو روش زیر بسط داد. فرض كنید تعداد افراد مطرح شده در مسئله انبه ها 10 نفر باشند یعنی نفر اول انبه ها را می خورد ، نفر دوم باقیمانده ، نفر سوم باقیمانده و بهمین ترتیب تا اینكه فقط 3 انبه باقی بماند . تعداد اولیه انبه ها چندتا بوده است؟ تعدادی مسئله مشابه انبه بسازید كه در آنها تعداد افراد ابتدا 10 نفر بعد 9 نفر و بعد 7 نفر باشد. تعداد اولیه انبه ها را در هریك محاسبه كنید . سپس به یك قاعده كلی برسید كه با دانستن تعداد انبه های باقیمانده و تعداد افراد ، بتوانید تعداد اولیه انبه ها را بگویید .اموزش حل مسئله
مقدمه:
حل مسئله از دو جنبه اهمیت دارد. اول آن که از اهداف مهارتی مهم در آموزش ریاضیات است و از طرف دیگر می توان گفت انجام هر فعالیت با پاسخ دادن به سؤال ها و یا تمرین های ریاضی (که ممکن است به منظور تقویت مهارتی طرح شده باشد.) به نوعی حل مسئله است. با این تعریف حل مسئله چتری است که بر روی تمام اهداف مهارتی و به تعبیری دیگر بر تمام آموزش ریاضی قرار می گیرد.
در استانداردهای آموزش ریاضی این گونه بیان شده است، حل مسئله قلب تپیده یا نقطه ی تمرکز آموزش ریاضی است.
مسئله را می توان به زبان ساده تعریف کرد. هرگاه فردی بخواهد کار دیگری انجام دهد یا جای دیگری باشد، ولی نتواند به هدف خود برسد، مسئله ایجاد می شود. حل مسئله، نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسئله و تلاش برای حل آن جزیی از زندگی هر فرد است. تعلیم و تربیت باید دانش آموزان را برای برخورد با زندگی آینده آماده کند. فرآیند برخورد با شرایط زندگی را حل مسئله می نامند.
در آموزش ریاضی دو دیدگاه و یا رویکرد کلی در مورد حل مسئله وجود دارد.
1- ریاضی را آموزش می دهیم تا به کمک آن دانش آموزان مسئله حل کنند.
2- آموزش ریاضی را از طریق حل مسئله انجام دهیم.
در نگاه اول حل مسئله در پایان فرآیند آموزش قرار می گیرد.
کتاب های ریاضی دوره ی ابتدایی و راهنمایی فعلی نیز با همین دیدگاه برنامه ریزی شده است . لذا ابتدا مفاهم آموزش داده می شوند سپس تکنیک ها و قواعد بین بیان شده پس از کسب مهارت در انجام تکنیک ها، تعدادی مسئله مطرح می شوند تا دانش آموزان باتوجه به دانش ریاضی خود به آن پاسخ دهند.
در رویکرد دوم حل مسئله در آغاز فرآیند آموزش است. در واقع با طرح یک مسئله و به چالش انداختن ذهن دانش آموزان شرایط برای آموزش مهیا شده، و دانش آموز با درگیر شدن در فرآیند حل مسئله به تدریج مفهوم و یا دانش مورد نظررا مرحله به مرحله تولید می کند و ضمن حلّ مسئله یک موضوع تازه از ریاضیات را نیز فرا می گیرد.
آموزش ریاضی از طریق حل مسئله :
در تدریس ریاضی از طریق حل مسئله دنیای واقعی نقطه ی شروع است؛ یعنی مسئله از دنیای واقعی انتخاب می شود و سپس به زبان ریاضی ترجمه می شود. این ترجمه در واقع، نوعی مدل سازی ریاضی است. گاهی برای فهم و درک بهتر یا ترجمه ی دقیق تر، ممکن است چندین رفت و برگشت بین دنیای واقعی و دنیای ریاضی انجام شود تا بالاخره در دنیای ریاضی مسئله حل ریاضی شود اما این، نقطه ی پایان کار نیست؛ بلکه باید حل مسئله در دنیای واقعی تفسیر و ترجمه شود. مدل زیر این موضوع را بهتر نمایش می دهد.
تعامل بین دو دنیا با پویایی ادامه پیدا می کند و هر بار مسئله ی جدید باعث اعتلای ریاضی و اضافه شدن بخش های جدیدی به آن می شود. از طرفی دیگر، گسترش و توسعه ی ریاضی نیز ره گشای حل مسئله های پیچیده تر از دنیای واقعی می شود. در مثال زیر کوشش شده است یک مسئله در قالب این مدل توضیح داده شود تا مفهوم مورد نظر بهتر شکل بگیرد.
قرار است یک مجتمع خدماتی ، شامل مدرسه، درمانگاه و شرکت تعاونی روستایی برای استفاده سه دهکده ی مشخص شده در نقشه ساخته شود، به طوری که فاصله بین این مجتمع از سه دهکده به یک اندازه باشد، محل ساختمان مجتمع را مشخص کنید.
این مسئله از دنیای واقعی انتخاب شده است. در مورد موضوع آن یعنی خدمات رسانی متمرکز به روستاهای مجاور هم و سیاست دولت در این خصوص می توان برای دانش آموزان توضیح داد وقتی به جای سه دهکده سه نقطه فرض می کنید و با وصل کردن آن ها به هم یک مثلث می سازیم در واقع مدل سازی ریاضی انجام داده ایم. به این ترتیب مسئله را به دنیای ریاضی برده ایم.
در دنیای ریاضی با رسم سه عمود منصف و پیدا کردن محل برخورد آن ها در واقع مسئله را حل ریاضی کرده ایم. مرحله ی آخر این است پاسخ به دست آمده را در دنیای واقعی تفسیر کنیم. با بررسی سؤال هایی مثل: آیا در چنین نقطه ای امکان ایجاد مجتمع وجود دارد؟ آیا در این نقطه مانعی طبیعی قرار دارد؟ آیا در روی زمین یک نقطه پیدا کرده ایم یا محدوده ای که بتوان در آن حوالی مجتمع را ساخت؟
مسئله ی بالا در کتاب اول راهنمایی به عنوان یک تمرین، مطرح شده و در آغاز آموزش حل مسئله نیست؛ ولی مدل مذکور را تا حد زیادی روشن و آشکار می کند.
یکی از پیام های بسیار مهم در این مدل، مرحله ی آخر یا تفسیر جواب ریاضی در دنیای واقعی است که اغلب در کلاس های ریاضی به آن توجه نمی شود و مسئله با پیدا کردن جواب ریاضی خاتمه می یابد.
آموزش مهارت حل مسئله:
تا چندی پیش اغلب آموزشگران ریاضی و ریاضیدانان بر این باور بودند که حل کردن مسئله یک توان، استعداد و نیرویی فردی است و آموزش دادن آن معنا ندارد. به عبارت دیگر، توانایی حل مسئله به صورت یک استعداد در درون افراد قرار دارد و نمی توان آن را از طریق آموزش تقویت و یا ایجاد کرد.
جرج پولیا با این تفکر که چه تفاوتی بین افراد مسئله حل کن و افراد دیگر وجود دارد که آن ها را قادر به حل مسئله می کند و دیگران را عاجز، به بررسی فرآیند تفکر حل مسئله در دانشجویان خود پرداخت و با نوشتن کتاب «چگونه مسئله را حل کنیم؟» ذهنیت آموزش حل مسئله را مطرح کرد.
امروزه با توجه به نظریات او و آموزشگرانی که پس از وی تحقیقات در مورد حل مسئله را ادامه دادند بر این باور هستیم که می توانیم از طرقی مهارت حل مسئله را بر دانش آموزان آموزش دهیم.
اغلب دانش آموزان ما در مواجه شدن با مسئله توان اقدام کردن به حل آن را ندارند. در واقع نمی دانند چطور باید حل را آغاز کنند و یا وارد حل مسئله شوند. این مشکل برای معلمان ریاضی کاملاً قابل درک است . اغلب آن ها از این که دانش آموزان درباره ی مسئله نمی توانند فکر کنند، ناراحت به نظر می رسند.
بعضی از معلمان نیز سعی کرده اند به روش های جدید تجربی خود، به نوعی حل کردن مسئله را به دانش آموز آموزش دهند. اغلب آن ها در این شیوه، راه را اشتباه رفته اند و به دانش آموزان آموزش های نادرست داده اند. برای مثال، نصف ها و واژه های به کار رفته در متن مسئله را مهم جلوه داده اند. «اگر کلمه ی روی هم را دیدید باید جمع کنید.» و یا «کلمه ی تفاوت به تفریق مربوط می شود.» بیان این قبیل جملات نه تنها آموزش نیست؛ بلکه به نوعی ضد آموزش است و قدرت تفکر را در ذهن دانش آموز از بین می برد. در این جا سعی شده است با تبیین مدل پولیا راهی را برای آموزش مهارت حل مسئله پیدا کنیم.
الگوی پولیا برای حل مسئله:
هرکس در ذهن خود فرآیندی برای حل مسئله طی می کند. مسیر حل مسئله برای مسایل گوناگون و برای افراد مختلف متفاوت است اما جرج پولیا تلاش کرده است تا این مسیر را به نوعی مدل سازی کند. الگوی چهار مرحله ای او به شکل زیر است.
1- فهمیدن مسئله: گام اول در حل یک مسئله، فهمیدن آن است. این گام نشان می دهد وقتی مسئله است که چیزی برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله، یعنی تشخیص داده ها و خواسته های مسئله و ارتباط بین آن ها. فهم مسئله های مبارز طلب در واقع بخش اصلی فرآیند حل مسئله است. مسئله های پیچیده حل نمی شوند، چون اغلب در فهم آن مشکل داریم.
برای طی کردن این گام در هنگام حل مسئله می توان به سؤال هایی مثل مسئله چه چیزی (چه اطلاعاتی) داده است؟ چه چیزی را می خواهد؟ خواسته مسئله چیست؟ آیا مسئله باید در شرایط خاصی بررسی شود؟ آیا مسئله دارای محدودیت ها و شرایط معینی است؟ و یا می توان از دانش آموزان خواست که مسئله را به زبان خود بیان کنند و توضیح دهند. یا مسئله را خلاصه کنند و یا به صورت یک نمایش آن را به عمل در آورند. یا برای فهم بهتر از یک شکل استفاده کنند.
یکی از راه های مناسب برای طرح مسئله قرار دادن اطلاعات اضافی در متن سؤال است تا گام فهمیدن و تشخیص داده ها و خواسته ها اهمیت بیش تری پیدا کند.
2- طرح ریزی کردن: گام دوم برنامه ریزی، طرح ریزی یا قصد کردن برای حل مسئله است. در این مرحله، مسئله را از ابعاد مختلف ریاضی بررسی می کنیم. یعنی این مسئله با کدام یک از مقولات هندسی، جبری، برداری و .... در ارتباط است. چگونه آن را می توان مدل سازی کرد؟ کدام روش یا راهبرد (استراتژی) برای حل آن مناسب تر است؟ در این مرحله ممکن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این رفت و برگشت تا رسیدن به یک راه حل مناسب ادامه می یابد.
در آموزش عمومی آنچه در این گام مطرح می شود، انتخاب راهبرد (استراتژی) یا روش حل مناسب برای حل مسئله است؛ یعنی در این مرحله دانش آموز داده های مختلف، حل مسئله را بررسی و امتحان می کند. راه هایی مثل کشیدن شکل، حدس زدن جواب، حذف کردن جواب های غیر ممکن برای رسیدن به جواب اصلی، فرد یا تکه تکه کردن مسئله، ساده تر کردن مسئله، تشکیل دادن معادله و .... بنابراین نام این مرحله را «انتخاب راهبرد» می گذاریم.
مهم ترین بخش در آموزش مهارت حل مسئله، آموزش راهبردها است. در واقع آنچه از حل مسئله، آموزش دادنی است. آموزش راهبردهاست. که در این مورد در قسمت بعد توضیحاتی ارائه خواهد شد.
3- حل مسئله: در گام سوم، نقشه ی طرح شده را به اجرا می گذاریم. اگر راهبرد مناسب را انتخاب کرده باشیم و در فهم مسئله مشکلی نداشته باشیم، نقشه با موفقیت اجرا شده، مسئله حل می شود. در غیر این صورت، ممکن است به گام دوم برگردیم و طرح و نقشه یا راهبرد خود را تغییر دهیم. همچنین این امکان وجود دارد که در هنگام حل مسئله ، متوجه شویم هنوز بخش هایی از مسئله را نفهمیده ایم و یا در تشخیص داده ها یا خواسته ی مسئله اشتباه کرده ایم و باید به گام اول برگردیم.
یکی از نکات مهمی که باید به دانش آموزان گوشزد کنیم، این است که این قسمت بخشی از فرآیند حل مسئله است نه تمام آن، در واقع تمام تلاش هایی که برای فهمیدن مسئله و انتخاب راهبرد می شود نیز جزیی از حل مسئله است.
4- نگاه به عقب (برگشت به عقب): درگام آخر در صورتی که مسئله حل شده باشد، آن را در دنیای واقعی، تفسیر و ترجمه می کنیم. همچنین در مورد منطقی بودن پاسخ و اینکه جواب به دست آمده همان خواسته ی مسئله است یا نه، بررسی می کنیم. راه حل و روش های ریاضی که در حل مسئله استفاده شده است، مجدداً بررسی و امتحان می شوند.
همان طور که ذکر شد معمولاً این گام در کلاس درس فراموش می شود؛ و دانش آموزان اغلب درباره ی منطقی بودن پاسخ خود، فکر نمی کنند. و پاسخ خود را در دنیای واقعی تفسیر و تعبیر نمی کنند.
با طی کردن 4 گام فوق یک مسئله به طور کامل حل می شود. این مراحل در هنگام حل مسئله به صورت طبیعی و پنهان طی می شود. تأکید بیش از حد 4 گام و جدا کردن آن ها از یک دیگر ممکن است به عاملی برای متوقف شدن فرآیند حل مسئله منجر شود لذا توصیه می شود معلمان محترم این 4 مرحله را به صورت طبیعی در کلاس با دانش آموزان خود طی کنند و با تکرار آن در حل هر مسئله آن را به صورت ملکه در ذهن دانش آموز درآورند تا او بتواند فرآیند تفکر خود را نظم و سازماندهی کند.
راهبردهای حل مسئله:
یکی از مشکلات اصلی دانش آموزان، عدم اقدام به حل مسئله است؛ یعنی وقتی با یک مسئله مواجه می شوند، نمی دانند از کجا باید شروع کنند و یا چگونه اقدام به حل آن نمایند. مدل پولیا از یک طرف می تواند الگویی برای شروع به دانش آموز بدهد اما از طرف دیگر ممکن است خود مانع حل، خلاقیت و آزاد اندیشی دانش آموز شود اما آموزش راهبردهای حل مسئله می تواند گام مفیدی برای حل مسئله باشد. دانش آموز در گام دوم حل مسئله می تواند از بین راهبردهای مختلف که برای حل مسایل آموزشی دیده است، راه حل مسئله ای که با آن مواجه شده است را انتخاب کند.
بررسی راهبردهای مختلف وامکان حل مسئله با آن راهبردها در واقع اقدام مهمی برای حل مسئله است. در آموزش عمومی 8 راهبرد زیر به دانش آموزان داده می شود.
1- رسم شکل: ضرب المثل هایی چون «شنیدن کی بود مانند دیدن» و «یک تصویر ، با ارزش تر از هزار کلمه» از دیرباز رواج داشته است. احتمالاً بسیاری از مردم با این گونه نظریات موافق اند اما قدرت و کارایی بعضی از ضرب المثل ها برای همه ی آنان آشکار نیست، یک تصویر یا شکل، در گفت و گوها و ارتباط های کلامی نقش مؤثری دارد و می تواند ارتباط بین مکان ها و موقعیت های دور از هم را به سادگی و روشنی نشان دهد. نقاشان، طراحان و تصویرگران طنز پرداز افکار خود را با تصاویر، طرح ها و نقاشی ها قابل مشاهده می کنند. در ریاضیات چه طور؟ آیا شکل ها و تصویرهای کلی می توانند به حل مسئله ها کمک کنند.
این راهبرد به طور طبیعی در ذهن دانش آموز پیش می آید و کشیدن شکل برای یک مسئله، اولین ایده ای است که به ذهن می آید. بسیاری از مسایل، با کشیدن یک شکل به راحتی حل می شوند و حتی نیازی به نوشتن عملیات نخواهند داشت. اغلب معلمان با قبول نکردن این راه حل (کشیدن شکل) از دانش آموزان باعث می شوند این راهبرد با کاربرد وسیع کم کم از ذهن دانش آموز پاک شود.
دانش آموزان و اغلب معلمان فکر می کنند حل یک مسئله، یعنی نوشتن عملیات ریاضی، بنابراین اگر دانش آموزی یک مسئله را فقط با کشیدن یک شکل حل کند و به پاسخ و خواسته ی مسئله برسد باز هم تردید دارد و سعی می کند با نوشتن عملیات ریاضی پاسخ خود را قابل قبول کند.
به مسئله ی زیر و نحوه ی حل آن را با رسم شکل توجه کنید.
«در یک مزرعه 20 مرغ و گاو وجود دارد. تعداد پاهای آن ها 54 عدد است. با فرض این که همه ی آن ها سالم هستند چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارد؟»
پاسخ: 7 گاو 13 مرغ
این راهبرد مسئله ی بالا برای دانش آموز دوم دبستان نیز قابل طرح است.
2- سازمان دهی داده ها و جدول نظام دار: مرتب کردن داده ها، قرار دادن آن ها دریک جدول و سازمان دهی داده ها، راهبرد مناسبی برای حل مسئله است و دانش آموزان در دوره ی ابتدایی باید آن را فرا بگیرند. پس از آن باید یاد بگیرند که چگونه داد ها را در یک جدول با نظم منطقی مرتب کنند. تشکیل جدول به صورت نظام دار این اطمینان را ایجاد می کند که تمام حالت های مختلف در نظر گرفته شده اند.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
«تعدادی سکه ی 5 تومانی، 10 تومانی و 25 تومانی در اختیار داریم. با چه تعداد از هر کدام یا ترکیب آن ها می توانیم 50 تومان پول جدا کنیم؟»
پاسخ های مختلف این مسئله را با حدس زدن و انجام محاسبات (ذهنی) می توان پیدا کرد و آن ها را در جدولی به شکل زیر سازماندهی کرد.
2
0
0
1
10
تعداد سکه ی 5 تومانی
4
5
0
2
0
تعداد سکه ی 10 تومانی
0
0
2
1
0
تعداد سکه ی 25 تومانی
اما با روش فوق نمی توانیم از این که تمام پاسخ های درست را پیدا کرده ایم یا خیر با روش منطقی اطمینان حاصل کنیم. اما اگر پاسخ ها را با یک نظم در جدول می نوشتیم با تشکیل جدولی نظام دار می توانستیم مطمئن شویم که تمام حالت های ممکن را در نظر گرفته ایم. در جدول نظام دار زیر، نظم نوشتن اعداد به این ترتیب است. از سکه ی 25 تومانی شروع می کنیم و بزرگ ترین عدد ممکن را قرار می دهیم سپس براساس سکه ی 10 تومانی بزرگ ترین عدد ممکن را قرار داده به همین ترتیب پیش می رویم.
10
8
6
4
2
0
5
3
1
0
5 تومانی
0
1
2
3
4
5
0
1
2
0
10 تومانی
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
25 تومانی
به این ترتیب، تمام 10 حالت ممکن به دست می آید.
3- حدس و آزمایش: حدس زدن برای بیشتر مردم چیز جدیدی نیست. هر دانش آموزی بارها در طول تحصیل آگاهانه یا ناخودآگاه در مورد جواب سؤال و مسائل حدس هایی زده است. روش حدس زدن، در زندگی روزمره از دوران کودکی تا بزرگ سالی مورد استفاده قرار می گیرد. دانشمندان هم از این روش استفاده می کنند، بنابراین، حدس و آزمایش نه تنها یک راهبرد، بلکه یک گردش و طرز فکر نیز هست.
ممکن است پس از آموختن راهبرد حدس و آزمایش، احساس کنید که این کار نوعی تقلب است اما در واقع چنین نیست و واقعاً این روش برای حل مسئله مؤثر است. حدس و آزمایش در فهمیدن مسئله به ما بسیار کمک می کند و به طور شگفت انگیزی نقطه ی شروع حل مسئله را به ما نشان می دهد. این راهبرد گاهی خیلی سریع به جواب می رسد و گاهی ممکن است امیدوار کننده نباشد. نباید دل سرد شویم بلکه باید با سازمان دهی بهتر و نظام دار همراه با سماجت برای حل مسئله تلاش کنیم.
وقتی حدس می زنیم و آزمایش می کنیم، باید اعتماد داشته باشیم که می توانیم مسئله را حل کنیم، حتی اگر در آغاز نتوانسته باشیم آن را خوب درک کنیم. باید حدس هایمان را هوشمندانه و با روشی نظام دار مورد ارزیابی قرار دهیم و تلاش کنیم حدس های بهتری بسازیم. پس از حدس زدن، نوبت به آزمایش کردن حدس می رسد که نیازمند اجرای عملیات ریاضی و محاسباتی است.
بنابراین، آزمایش کردن گاهی زحمت و درد سر هم دارد ولی نتیجه ی کار هر چه باشد، گاهی به جلو است.
گاهی ماهیت مسئله چنان است که با حدس و آزمایش نمی توان جواب را به راحتی به دست آورد ولی می توان تقریب و تخمین خوبی برای جواب به دست داد.
این راهبرد نیز معمولاً توسط معلمان مورد قبول واقع نمی شود در حالی که راهبردی مناسب برای حل مسایل است. در این راهبرد، دانش آموز پاسخ مسئله را حدس می زند. پس از بررسی حدس خود و آزمایش کردن آن، حدس بعدی را با استدلالی منطقی مشخص می کند. با ادامه دادن این فرآیند، کم کم فرد به پاسخ درست مسئله می رسد.
در آموزش این راهبرد 4 نکته اهمیت دارد. اول آن که دانش آموز حدس دوم به بعد را براساس نتایج بررسی حدس قبلی خود و با استدلالی منطقی تعیین می کند. دوم او باید یاد بگیرد مراحل حدس و آزمایش خود را به صورت مکتوب ارائه و استدلال خود را بیان کند، به طوری که دیگران قادر به درک مراحل حدس و آزمایش او شوند.
همان مسئله مرغ و گاه را با راهبرد حدس و آزمایش به ترتیب زیر نیز می توان پاسخ داد.
نتیجه
بررسی
تعداد گاو
تعداد مرغ
چون تعداد پاها بیش تر از 54 شد، تعداد گاوها باید کم شود
چون تعداد پاها بیش تر از 54 شد، تعداد گاوها باید کم شود
پاسخ درست
60=4×10+2×10
56=4×8+2×12
54=4×7+2×13
10
8
7
10
12
13
4- الگویابی: اهمیت مطالعه ی الگوها به حدی است که ریاضیات را علم الگوها نیز نامیده اند. الگوها در همه جا حضور دارند، در زندگی روزانه هزاران الگو وجود دارد. طراحی های صنعتی، رفت و آمد وسایل نقلیه، برنامه های تلویزیونی، سنگ فرش خیابان ها و منازل و پارک ها، طراحی های هنری و معماری همگی نشانه هایی از وجود الگوها در زندگی روزانه هستند.
نگاه آگاهانه و دقیق برای یافتن الگوها مهارتی مهم است که وجود آن برای حل مسئله و به طور کلی، مطالعه ی هستی ضرورت دارد. توانایی الگویابی موجب می شود که مسائل پیچیده به حد الگوها تنزل یابند و با استفاده از الگو به حل مسئله نایل شویم. معمولاً کلید یافتن یک الگو، سازمان دهی و تنظیم داده هاست. به همین دلیل، راهبردهای ارائه شده مورد استفاده قرار می گیرند.
کشف الگو و رابطه های بین داده های مسئله به حل آن کمک می کند. راهبرد الگویابی برای مسایلی که با استفاده از رابطه ها و قواعد تکرار پذیر طرح می شوند، مفید است. گاهی کشف الگو همان حل مسئله است و در مواقعی پیدا کردن الگو راه را برای حل مسئله باز می کند.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
با توجه به جدول مقابل اگر یک مجموعه n عضو داشته باشد، تعداد زیر مجموعه های آن چند تاست؟
4
3
2
1
0
تعداد عنصرهای یک مجموعه
16
8
4
2
1
تعداد زیر مجموعه ها
با کشف الگویی که در جدول فوق وجود دارد می توان رابطه ی n2 را به دست آورد.
در واقع راهبرد مناسب برای حل این مسئله الگویابی است.
5- حل مسئله ساده تر: گاهی مسئله پیچیدگی هایی دارد که نمی توان آن را به راحتی حل کرد اما وقتی مسئله را ساده می کنیم یا مسئله حل می شود یا روش حل آن ظاهر می شود.
وقتی مسئله در حالت ساده تر بررسی شد، با یک الگویابی می توان آن را به حالت کلی تعمیم داد. ساده کردن عددها و داده های یک مسئله نیز بخشی از این راهبرد است.
در مسئله ی زیر به جای عدد 3 5 و به جای عدد 244، 200 قرار دهید، یک بار دیگر مسئله را بخوانید در کدام حالت مهم مسئله ساده تر به نظر می رسد؟ «در یک کارخانه لوله هایی به طول 3 5 متر تولید می شود».
تولید این کارخانه در هر روز 244 لوله است. در هر روز چند متر لوله تولید می شود؟»
در حل مسئله ی زیر نیز ابتدا حالت های ساده در نظر گرفته می شود.
«رقم یکان عدد 3275 چند است ؟»
27 =33 9=32 3=31
... 243=35 81=34
با مشاهده ی رقم های یکان الگوی تکرار شدن رقم ها، یعنی (3،9،2و1) مشخص می شود. با تعمیم آن به 3257 می توان رقم یکان را تعیین کرد.
چندان سرحال نبود اما به ناچار بایستی کارهایی را که روی میزش انبار شده بود، انجام می داد. به همین دلیل قصد داشت دانش آموزان را به حل مسئله ای مشغول کند تا فرصتی به دست آورد و کارهایش را انجام دهد! با این فکر از جا برخاست و روی تخته ی کلاس نوشت: «حاصل جمع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را به دست آورید.»
تصور می کرد که این کار دست کم 30 دقیقه دانش آموزان را سر کار می گذارد! اما هنوز چند لحظه ای نگذشته بود که کارل گاوس نزد معلم رفت و پاسخ مسئله را که روی تخته ای چوبی نوشته بود، روی میز او گذاشت و گفت: مسأله حل شد. در حالی که بقیه ی شاگردان، کار خود را تازه شروع کرده بودند. معلم که از نادرست بودن پاسخ پسرک کاملاً مطمئن بود، اصلاً به نوشته ی او توجه نکرد و او را به گزافه گویی متهم نمود! مدت زمانی نسبتاً طولانی گذشت! حالا دیگر معلم همه ی می گذاشتند. به این ترتیب، آخرین لوحی که معلم نگاه کرد، متعلق به گاوس بود. او با تعجب دید که جواب گاوس درست است! واقعاً گاوس مسئله را چگونه حل کرده بود؟ داستانی که گاوس در مورد راه حل خود گفت، چه بود؟
از یک تا صد
مجموع اولین صد عدد طبیعی چه قدر است؟
شما می توانید این مسئله را حل کنید. این تجربه ی عالی را از دست ندهید!
راه هایی گوناگونی برای حل کردن این مسئله وجود دارد. یکی از آن ها این است که کاغذ و قلم را برداریم و شروع به جمع کردن کنیم (پشت سر هم جمع کنیم) یا ماشین حساب را روشن کنیم و به کمک آن، عملیات را انجام دهیم! اما گاوس ماشین حساب نداشت؛ بنابراین، او باید از راه دیگری رفته باشد. روش دیگر این است که راهبرد زیر مسئله و الگویابی را ترکیب کنیم و به حل مسئله بپردازیم.
مجید راه حل خود را به این شکل توضیح می دهد:
من مسئله را به چند زیر مسئله شکستم؛ به این ترتیب که ده تا ده تا به صورت زیر جمع کرده:
زیر مسئله ی 1: 55=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
زیر مسئله ی 2: 155=20+19+18+17+16+15+14+13+12+11
زیر مسئله ی 3: 255=30+29+28+27+26+25+24+23+22+21
آن گاه، فوراً الگویی به نظرم رسید:
.... 355،255،155،55
این اعداد را با هم جمع کردم و جواب به دست آمد.
505= 955+855+...+355+255+155+55
مجید اضافه می کند:«زیر مسئله ها و الگویابی کار را بسیار ساده کرد. البته، من از ماشین حساب هم استفاده کردم؛ در صورتی که دویست سال پیش ماشین حساب وجود نداشت».
واقعاً گاوس این مسئله را چگونه حل کرده است؟ شاید او داستان راه حل مسئله را به صورت زیر بیان کرده است:
موقعی که معلم این مسئله را روی تخته ی کلاس نوشت، واقعاً نمی خواستم آن را حل کنم. فکر کردم که او می خواهد ما را سرگرم کند؛ چون بچه ها خیلی شلوغ کرده بودند. آن ها موشک و هواپیمای کاغذی به طرف یک دیگر پرتاب کرده بودند و همه جای کلاس پر از آشغال و کاغذ شده بود! ولی من هیچ کاری نکرده بودم و به همین دلیل، احساس می کردم که نباید تنبیه شود. بچه ها مشغول تمیز کردن اطراف میزهایشان شدند و من نمی خواستم با آن ها در این کار همراه شوم؛ بنابراین، برای لحظه ای به مسئله فکر کردم. اول تصور می کردم که جمع کردن اعداد از 1 تا 100 زمان زیادی طول خواهد کشید.
در نتیجه، روی 1 تا 10 فکر کردم، می دانستم بدون هیچ مشکلی می توانم آن ها را با هم جمع کنم.
.... 150=5+10. 10=4+6 . 6=3+3. 3=2+1
خیلی زود از این کار خسته شدم. تصور نمی کردم که بتوانم تا 100 ادامه بدهم؛ باید راه ساده تری هم وجود داشته باشد. به نظرم رسید که لازم نیست اعداد را با همان ترتیب با هم جمع کنم.
می توانستم از هر ترتیبی که دلم می خواست استفاده کنم. پس، شروع به بازی با اعداد کردم. 1 را با 5 جمع کردم، 6 شد 2 را با 4 جمع کردم، دوباره 6 به دست آمد. به نظر عجیب آمد. دوباره شروع کردم و این دفعه 10 را با 1 جمع کردم. 11 شد. سپس 2+9 . 3+8 . 4+7 . 5+6 ، که همگی برابر 11 شدند. پس جمع تمام اعداد از 1 تا 10 برابر بود با 11×5؛ چون 5 گروه 11 تایی بود.
با این تجربه، فوراً دریافتم که چگونه باید مسئله ی اولیه را حل کنم.
101= 98+3 101 = 100+1
101=97+4 101=99+2
همین طور ادامه دادم و 50 گروه با مجموع 101 بدست آوردم؛ بنابراین، حاصل 5050 = 101 ×50 شد. با شادمانی بسیار و در حالی که لوحم را به دست گرفته بودم، نزد معلم رفتم ولی او....
کاری که کارل گاوس در قرن هجدهم انجام داد، درسی بزرگ برای ما دارد. اگر احساس می کنید مسئله سخت است، سعی کنید آن را به مسئله ای ساده تر تبدیل کنید.
در این جا روش هایی را ارائه می کنیم که برای ساختن یک مسئله ی ساده تر و مربوط به مسئله ی اصلی، می توانند مؤثر و راه گشا باشند.
1- از یک عدد ساده و مناسب به جای یک متغیر استفاده کنید.
2- عددهای کوچک تر یا ساده تر را جایگزین عددهای خیلی بزرگ سخت کنید.
3- مجموعه های از مثال های ساده تر را انجام دهید و در میان این حالت های ساده، در پی یافتن یک الگو باشید.
4- یک مثال خاص و ساده تر را انجام دهید و براساس آن، فرآیند ساده تری را کشف کنید و با استفاده از آن به حل مسئله اصلی بپردازید.
5- اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید.
6- بعضی از شرط ها را تغییر دهید، ثابت نگه دارید یا کنار بگذارید.
6- زیر مسئله : مسئله های پیچیده و چند هدفی معمولاًً از چند مسئله ساده تشکیل شده اند. گاهی حل یک زیر مسئله و یا زنجیره ای از زیر مسئله ها منجر به حل مسئله اصلی می شوند.
تشخیص زیر مسئله ها و حل آن ها راهبرد مهمی برای مسئله های ترکیبی هستند.
در آموزش این راهبرد به دو نکته باید توجه کرد. اول تشخیص زیر مسئله ها، سپس نوشتن (تشکیل) مسئله های کوچک و حل آن ها برای رسیدن به پاسخ نهایی مسئله.
شاهپانزه در اتاقکی زندگی می کند و گرسنه است. ناگهان در بیرون اتاقک، موزی را می بیند که روی زمین افتاده است.
شاهپانزه می تواند دست خود را از لای میله های اتاقک بیرون آورد ولی دستش به موز نمی رسد. حیوان با جدیت تلاش می کند تا به موز دست یابد. درست روبه روی موز پشت میله ها نشسته است . در بیرون اتاقک، قطعه چوبی روی زمین افتاده است که دست حیوان به آن می رسد. ابتدا به آن توجهی نمی کند. ناگهان به هیجان می آید، چوب را بر می دارد و آن قدر تلاش می کند تا به وسیله ی چوب موز را به دست می آورد و می خورد. اگر چه این مشاهده برای آزمایش های روان شناسی هم بسیار مهم است ولی تفکری زیبا و ریاضی گونه مربوط به حل مسئله در آن وجود دارد. در واقع، میمون دو مسئله را حل کرده است.
الف) برداشتن موز
ب) برداشتن قطعه چوب
مسئله ی الف پیش از پیدایش مسئله ی ب وجود داشت. در ابتدا میمون هیچ علاقه ای به چوب نشان نمی داد، زیرا گرسنه بود اما می دانست که چوب خوردنی نیست با وجود این اول مسئله ی ب را حل کرد حل مسئله ی ب، راه را برای حل مسئله ی اصلی الف باز کرد. میمون مستقیماً به حل مسئله ی الف علاقه مند بود و تنها به طور غیر مستقیم متوجه ی مسئله ی ب شد.
«خلاقیت ریاضی – پولیا»
مسئله ی الف مسئله ی اصلی و مسئله ی ب یک زیر مسئله یا مسئله ی درون مسئله یا یک مسئله ی کمکی برای مسئله ی الف است.
همه ی راهبردهایی که تاکنون مورد بحث قرار گرفته اند، با سازمان دهی اطلاعات سروکار دارند.
رسم یک شکل، اطلاعات را به صورت تصویری سازمان دهی می کند. راهبردهای تنظیم جدول نظام دار، حدس و آزمایش نیز به نوع دیگر، داده ها را تنظیم و مرتب می کنند. راهبرد مسئله های درون مسئله دارای نگاهی متفاوت است و با طرح نقشه و چگونگی یورش به مسئله سروکار دارد.
مسئله ی زیر را به عنوان نمونه ای ساده در نظر بگیرید.
«اگر 17=1- x3 ، آن گاه مقدار 4- x 2 را بیابید».
برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله ی 17=1-x3 را حل کرد و سپس مقدار x را در عبارت 4- x2 قرار داد تا جواب مسئله به دست آید. در این جا، حل معادله ی 17= 1- x 3 یک زیر مسئله برای مسئله ی اصلی است.
7- حذف حالت های نامطلوب: وقتی از تمام حالت های ممکن پاسخ یک مسئله و با استفاده از داده های آن حالت های نامطلوب یکی یکی یا دسته دسته حذف می شوند، خود را به پاسخ مسئله نزدیک می کنیم. این راهبرد، حذف حالت های نامطلوب نام دارد.
به مسئله ی زیر توجه کنید.
«جذر تقریبی عدد 750 را به دست آورید.»
برای این کار می توانیم از دو مربع کامل 400 و 900 استفاده کنیم.
30500√ 20
فاصله ی بین 20 و 30 را نصف می کنیم تا به عدد 25 برسیم از آن جا که 625=252 است می توان نتیجه گرفت.
30750√ 25
به همین ترتیب با نصف کردن فاصله ی بین 25 و 30 و تکراراین عمل می توان پاسخ جذر را با دقت مورد نظر تعیین کرد.
یکی از بازی های فکری که در دوران کودکی و نوجوانی بیش تر رواج دارد. «مسابقه ی بیست سؤالی» است. نوعی از مسابقه ی بیست سؤالی را که فکری تر است و با ریاضی سروکار بیش تری دارد، بررسی می کنیم.
بین 1 تا 100، عددی را در ذهن خود انتخاب کنید و از دوستتان بخواهید برای شناسایی عدد مورد نظر شما حداکثر 20 سؤال مطرح کند و شما فقط جواب «آری» یا «خیر» بدهید. با این فرض که همه ی پاسخ ها درست باشند، در صورتی که دوست شما نتواند با 20 سؤال، عدد انتخابی شما را کشف کند، بازی را می بازد. یک نمونه مسابقه ی بیست سؤالی را بررسی می کنیم . سؤال ها و جواب ها در زیر آمده است.
سؤال
جواب
آیا عدد شما 13 است؟
خیر
آیا از 50 بزرگ تر است ؟
بله
آیا 62 است؟
خیر
آیا از 75 بزرگ تر است ؟
بله
آیا عددی فرد است؟
خیر
آیا 83 است؟
خیر
آیا از 85 کوچک تر است ؟
بله
آیا از 80 هم کوچک تر است؟
بله
آیا 76 است ؟
خیر
عدد شما 78 نیست؟
بله
کدام سوال ها با ارزش است؟ کدام سؤال بی ارزش است و موجب از دست رفتن فرصت می شود.
سؤال های »آیا عدد 13 است؟» و «آیا 62 است؟» سؤال هایی کم ارزش محسوب می شوند. و تنها حاصل آن ها این است که در می یابیم این دو عدد جزء حالت های نادرست هستند.
سؤال «آیا عدد از 50 بزرگ تر است؟» سؤال بسیار عالی است، زیرا هر یک از جواب های «بله» یا «خیر» باعث می شود و 50 عدد را به عنوان حالت های نادرست حذف کنیم. سؤال های «آیا از عدد 75 بزرگ تر است؟ » و «آیا فرد است؟» سؤال هایی بسیار هوشمندانه هستند ولی سؤال «آیا عدد انتخابی 83 است؟» سؤال خوبی نیست.
8- روش های جبری و تشکیل معادله: مدل سازی بسیاری از مسئله ها با روش های جبری است. تشکیل معادله یا معادلات مسئله را به دنیای ریاضی برده و آن را به یک مسئله جبری (ریاضی) تبدیل می کند. این راهبرد بیش تر در سال های پایانی آموزش عمومی کاربرد وسیع دارد.
جمعه بازار:
دست فروشی اجناس خود را در یک جمعه بازار حراج کرده بود. او هر قلم جنس را به قیمت هزار تومان می فروخت و سعی می کرد به هر مشتری فقط، یک قلم جنس بفروشد، البته اگر مشتری های خوب چانه می زدند، نمی توانستند جنس مورد نیاز خود را به نصف قیمت هم از او بخرند. دست فروش در پایان روز متوجه شد که همه ی دوازده قلم جنس خود را فروخته و 9500 تومان به دست آورده است. در صورتی که او از هر خریدار فقط یک اسکناس هزار تومانی یا پانصد تومانی دریافت کرده باشد، از هر کدام از این اسکناس ها چند تا دارد؟
برای حل این مسئله، ابتدا یک جدول حدس و آزمایش تنظیم کنید و سپس از جبر استفاده کنید.
قبل از نگاه کردن به راه حل ، روی مسئله کار کنید.
معلم جدول حدس و آزمایش را روی تابلو رسم کرد و چگونگی شروع کار روی مسئله را توضیح داد. آن گاه به کمک دانش آموزان دو ردیف اول جدول را نوشت.
مقایسه
کل پول
مقدار پانصد تومانی ها
مقدار هزار تومانی ها
اسکناس پانصد تومانی
اسکناس هزار تومانی
کم تر
8500
3500
5000
7
5
بیش تر
10000
2000
8000
4
8
معلم قبل از این که به جواب برسد از دانش آموزان خواست که حل مسئله را به کمک راهبرد جبری ادامه دهند. یکی از دانش آموزان این مسئله را با استفاده از راهبرد جبری حل کردند و راه حل را به این صورت برای کلاس توضیح دادند.
استدلال: ابتدا تصمیم گرفتم تعداد هزار تومانی ها را با t نشان بدهم، بنابراین، t را در ستون هزار تومانی ها زیر عدد 8 نوشتم. سپس سعی کردم. بفهم که در ستون دوم، زیر عدد 4 چه عبارتی را باید قرار دهم. چون دست فروش 12 قلم جنس داشت، بنابراین، اختلاف 12 و t بایستی تعداد 500 تومانی ها را مشخص کند، پس در ستون دوم زیر عدد 4 بایستی یکی از دو عبارت t -12 و 12- t را می نوشتم؛ من با دوستم روی مسئله کار کردم. او گفت که 12- t غلط است، برای این که اگر 8= t، آن گاه 12- tبرابر 4- می شود که معنی نمی دهد. او گفت که باید t-12 را نوشت. دو حدس قبلی را با t-12 آزمایش کردیم، هر دو درست بودند. 7=5-12 و 4=8-12
بنابراین تصمیم گرفتیم t-12 را درستون دوم زیر عدد 4 بنویسیم.
دوباره به حدس های قبلی نگاه کردم و متوجه شدم که باید ستون های مجموع هزار تومانی ها و پانصد تومانی ها را کامل کنم. این دو ستون را فوراً تکمیل کردم. چون می دانستم که باید اولی را در 1000 و بعدی را در 500 ضرب کنم.
مقایسه
کل پول
کل مقدار پانصد تومانی ها
کل مقدار هزار تومانی ها
پانصد تومانی ها
هزار تومانی ها
3500
5000
7
5
2000
8000
4
8
(t-12) 500+ t1000
(t-12) 500
t1000
12- t
t
برای محاسبه کل پول، مشکلی نداشتیمف زیرا می دانستیم که مقدار پانصد تومانی ها و هزار تومانی ها را باید با هم جمع کنیم. اما مسئله ی اصلی، نوشتن معادله بود. ابتدا نمی دانستیم این کار را چگونه باید انجام دهیم.
با استفاده از راهبرد حدس و آزمایش و با مشاهده ی ستون آخر جدول، متوجه شدیم زمانی به جواب می رسیم که در ستون آخر نه کلمه ی بیش تر و نه کلمه ی کم تر، بلکه باید کلمه ی مساوی باشد، اما با چه چیزی باید مساوی باشد؟ صورت مسئله را با دوستم دوباره خواندیم و متوجه شدیم که باید با 9500 تومان برابر شود. بنابراین، در ستون آخر نوشتیم؟
9500=( t-12) 500+ t 1000
در این جا نفس راحتی کشیدیم، زیرا حل این معادله کار واقعاً ساده ای بود.
9500=( t-12) 500+ t 1000
9500 = t 500 – 6000 + t 1000
9500= 6000 + t 500
3500 = t 500
7= t
من عادت دارم که در پایان عملیات جبری در حل یک مسئله، جواب را با سؤال مسئله مقایسه کنم. در این مسئله وقتی 7= t را به عنوان جواب یادداشت کردم، آن را با سؤال مقایسه کردم. و متوجه شدم که مسئله از ما می پرسد!
او از هر نوع اسکناس چند تا دارد؟ در این جا من فقط یک عدد به عنوان جواب داشتم، در صورتی که دو نوع اسکناس وجود داشت. به جدول دقت کردم، ستون اول و دوم تعداد هر نوع اسکناس را مشخص می کرد. معلوم شد اگر تعداد 1000 تومانی ها t باشد، تعداد پانصد تومانی ها t-12 است، بنابراین، تعداد اسکناس های 500 تومانی: 5=7-12
یکی دیگر از دانش آموزان این مسئله را از راهی مشابه ادامه داد و تصمیم گرفت به جای یک متغیر از دو متغیر استفاده کند. او به جای این که تعداد 500 تومانی ها را با t-12 نشان دهد، از نماد n استفاده کرد. به صورت جدول زیر:
مقایسه
کل پول
مقدار پانصد تومانی ها
مقدار هزار تومانی ها
کل
اسکناس ها
تعداد پانصد تومانی ها
تعداد هزار تومانی ها
کم تر
7500
2500
5000
10
5
5
کم تر
9000
7000
2000
16
14
2
بیش تر
10000
2000
8000
12
4
8
9500=n 500 + t 1000
n 500
t 1000
n + t
n
t
این دانش آموز از دستگاه دو معادله ی دو مجهول استفاده کرد. یک معادله به وضوح 9500=n 500 + t 1000 است. ولی معادله دیگر چگونه به دست می آید؟ ستون سوم، دومین معادله را مشخص می کند. تعداد اسکناس ها برابر تعداد جنس ها ست، بنابراین، معادله ی دوم 12 = n +t خواهد بود.
t 7= 3500=
500 }
1000t 500+n 9500=
t+n 12=
x- (500)500 t+(-500 n)=-6000
1000 t+500 n = 9500
500 t + 0 = 3500بنابراین 3500 = t 500 و در نتیجه برای به دست آوردن n دستگاه زیر داریم،
t +n=12
t 7=
7+n=12 n=5}
سپس دست فروش 5 اسکناس 500 تومانی و 7 اسکناس 1000 تومانی دارد.
نتیجه:
در پایان با استفاده از این راهبردها و به کمک آن ها به حل مسائل می پردازیم. شاید این سؤال پیش آید که آیا هر مسئله ای از طریق یک راهبرد حاصل حل می شود، در پاسخ این سؤال به این نکته اشاره می کنیم که یکی از راه هایی که دانش آموز را به یک مسئله حل کن ماهر تبدیل می کند، این است که از طریق راهبردهای گوناگون به حل مسئله بپردازد. عامل دوم که موجب مهارت در حل مسئله می شود، دست به عمل زدن و حل کردن تعداد زیادی مسئله است بنابراین قبل از مطالعه ی راه حل مثال های مورد نظر و بررسی آن ها برای حل مسئله تلاش کند.
این کار بسیار سودمند است حتی اگر مسئله را درست حل نکنید.
بررسی و بحث در مورد راه حل ها عامل سومی است که دانش آموز را به مسئله حل کن ماهری تبدیل می کند. راه حل ها را برای دوستان و هم کلاسی ها خود توضیح دهید تا مورد نقد و سؤال قرار گیرید. سپس سعی کنید به سؤال ها پاسخ منطقی بدهید. احساس خود را نسبت به چگونگی راه حل ها بیان کنید و در مورد زیبایی آن ها قضاوت نمایید. راه حل های نادرست را کم اهمیت نشمارید، زیرا گاه نسبت به راه حل های معمولی حاوی نکات زیباتر و ارزشمندتری هستند. همیشه پس از این که مسئله ای را حل کردید، راه حل آن را با دقت بسیار بنویسید.
منابع و مآخذ:
کتاب معلم، راهنمای تدریس (خسرو داودی، زهره بندی، کبری دلشاد، وزیری هامانه، پرویز شهریاری).
کتاب آموزش هنر حل مسئله (یحیی تابش، جواد حاجی بابایی و آرش رستگار).
پیشنهاد:
1- برای این که یک ارزشیابی مستمر از دانش آموزان داشته باشیم علاوه بر امتحانات کلاسی و خواستن کار کلاسی و حل تمارین داخل کتاب ریاضی می توانیم به طور مداوم یک سری تمرین های خارج از کتاب به دانش آموزان بدهیم البته نه به طور یکسان برای همه دانش آموزان بلکه براساس تواناییی آنها در حل تمرینات، به دانش آموزان خوب تمرینات مشکل تر و برای دانش آموزان ضعیف تمرینات ساده تر و از آنها حل این تمرینات را حتماً بخوانیم بدین ترتیب دانش آموزان کمتر به حفظیات خود که همان تمرینات داخل کتاب هستند پسنده می کنند و باعث می شود که دانش آموزان فعال تر شوند در درس ریاضی.
2- یکی از راههایی که می توان دانش آموزان ضعیف را به حد یک دانش آموز متوسط برسانیم می توانیم از همان ابتدای سال با یک ارزشیابی اولیه از مطالب کتاب سال گذشته و درسهای جلسات اول دانش آموزان ضعیف را بشناسیم و به مدیر مدرسه معرفی کنیم و با همکاری مدیر مدرسه و با در جریان گذاشتن اولیای آنها، در طول هفته یک جلسه یا دو هفته ای یک جلسه فوق العاده برای آنها بگذاریم و برای آنها درسهای طول هفته را تکرار کنیم و تمرین اضافه برای آنها حل کنیم.
3- یکی از راههایی که بتوانیم در موقع درس توجه بچه ها را بیشتر به درس جلب کنیم این است صندلی دانش آموزان از هم فاصله داشته باشند و یا اینکه دانش آموزان ضعیف تر را به ردیفهای اول کلاس بیاوریم. در این صورت از شیطانی تکردن و حرف زدن دانش آموزان کاسته می شود و کنترل کلاس راحتر و تسلط معلم بر کلاس بیشتر است و وابستگی دانش آموز به دوستانش در پاسخ به سئوالات کمتر می شود.
4- در کلاس درس در رابطه با درسمان می توانیم به سپردن مسئولیت ضعف و ناتوانی آنان را از سکوت نجات داده نیروهای خداداد آنان را پرورش داده ایم و فعال نمائیم.
راهبردهای حل مسأله
حل مسأله چيست؟
«كسي مي تواند ادعا كند رياضيات را فهميده كه توانايي حل مسأله را داشته باشد. حل مسأله به مفهوم آن، چيزي جز كشف نيست و همچنين بر عكس، كشف چيزي، الزاماً حل مسأله نيست، البته به شرطي كه هم در انتخاب مسأله و هم در شيوۀ كار با آن، راه و رسم درست در پيش گرفته شود»(جورج پوليا)
برای مشاهده "درس ها" روی لینک های زیرکلیک کنید:
(این فایل ها به صورت swf می باشد و برای اجرای آن نیاز به نرم افزار Flash Player دارید.)
درس2: راهبرد رسم نمودار و شکل(131kb)
درس3: راهبرد جدول نظام دار(207kb)
درس5: راهبرد حذف حالتهاي نامطلوب(168kb)
درس7: راهبرد حل مسأله ساده تر(171kb)
درس8: راهبرد تشکیل معادله(164kb)
درس9: راهبرد حدس و آزمایش(327kb)
+ نوشته شده در سه شنبه ۱۹ شهریور ۱۳۹۲ ساعت 23:41 توسط علی توکلی پور
|